Ensino Médio ⇒ Demonstração: Lado do Decágono Regular em Função do Raio

[rui_miguel]

Sendo [tex3]L[/tex3] a medida do lado de um decágono regular e [tex3]R[/tex3] o raio da circunferência que cincunscreve esse decágono, demonstre que:

[tex3]L = R \,\cdot \,\Large\frac{\sqrt{5}\,-\,1}{2}\large.[/tex3]

Se eu não me engano esse é o número áureo.

Vlw gente, ajudem ai por favor.

[italoemanuell]

Olá rui_miguel!!

Seja bem vindo ao forum!!

Na figura, dado o raio [tex3]R,[/tex3] calcule o [tex3]\ell_{10}[/tex3](lado do decágono regular).

A115.png (35.33 KiB) Exibido 9230 vezes

Sendo [tex3]A\hat{O}B=\ell_{10},[/tex3] então [tex3]A\hat{O}B= \frac{1}{10}.360^\circ=36^\circ \Longrightarrow \hat{A}=\hat{B}=72^\circ.[/tex3]

Conduzindo [tex3]BC,[/tex3] bissetriz de [tex3]\hat{B},[/tex3] vem:

[tex3]\Delta BAC[/tex3] é isósceles [tex3](\hat{A}=\hat{C} = 72^\circ) \Longrightarrow \bar{BC}=\ell_{10}[/tex3]
[tex3]\Delta COB[/tex3] é isósceles [tex3](\hat{O}=\hat{B} =36^\circ) \Longrightarrow \bar{OC}=\bar{BC}=\ell_{10}[/tex3]

Então:

[tex3]\bar{OC}=\ell_{10}[/tex3] e [tex3]\bar{CA}=R-\ell_{10}[/tex3].

Aplicando o teorema da bissetriz interna [tex3](BC[/tex3] é bissetriz no [tex3]\Delta AOB),[/tex3] vem:

[tex3]\frac{\ell_{10}}{R}= \frac{R-\ell_{10}}{\ell_{10}} \Longrightarrow \ell_{10}^2 =R\cdot (R- \ell_{10}) \Longrightarrow \ell_{10} = \frac{-R\pm R\cdot \sqrt {5}}{2},[/tex3]

Desprezando a solução negativa que não convém,temos:

[tex3]\ell_{10} = \frac{\sqrt 5-1}{2}\cdot R[/tex3].

Obs.: O [tex3]\ell_{10}[/tex3] é o segmento áureo do raio.

Espero ter ajudado....
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"Sem a Matemática, não poderia haver Astronomia; sem os recursos maravilhosos da Astronomia, seria completamente impossível a navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade. (Amoroso Costa)"