IME / ITA ⇒ IME 1988/1989 Tópico resolvido

[RonaldoJr]

Em cada uma das faces de um cubo constroi-se um circulo e em cada circulo marcam-se n pontos. Unindo- se estes pontos,
b) Quantos triângulos, não contidos numa mesma face do cubo, podem ser formados?
c) Quantos tetraedros, com base numa das faces do cubo, podem ser formados?
Obs: Suponha que, se 4 pontos não pertencem a uma mesma face, então não são coplanares.

[RonaldoJr]

Fiz assim:

b) Escolha dos vértices:
[tex3](6n)(5n)(4n)[/tex3]
Devido ao fato da ordem da escolha dos vértices não importar:

O número de triângulos, não contidos numa mesma face do cubo, podem ser formados é:
[tex3]\boxed{ \frac{(6n)(5n)(4n)}{3!} }[/tex3]

d) Escolha da base: [tex3]6[/tex3] modos
Vertices da base (ordem não importa): [tex3]{\frac{(n)(n-1)(n-2)}{3!}}[/tex3]
Vertice ( que não é da base... [tex3]V_{n}[/tex3] rsrs ) : [tex3](5n)[/tex3]

Sendo assim, o número tetraedros, com base numa das faces do cubo, podem ser formados é:[tex3]\boxed{ 5n(n-1)(n-2)(n-3) }[/tex3]

E ai o q vcs acham...????

No pdf com as provas IME o gab é...
b) [tex3]5n^2(7n-3)[/tex3]
c)[tex3]5n^2(n-1)(n-2)[/tex3]

[LucianaEmail]

Vou fazer com meu raciocínio, depois tento entender o que vc fez.

b) Triangulos não contidos na mesma face

Cada face tem um círculo marcado com n pontos.
O fato deles estarem em um círculo assegura que 3 pontos não serão colineares numa mesma face.

1º caso: 2 pontos numa mesma face.
Em uma face vou pegar todas combinações de dois pontos e ligar cada destas combinações a todos os outros pontos das outras 5 faces.
Isto faço nas 6 faces.

Combinação (n, 2) = [tex3]\frac{n!}{2!.(n-2)!}[/tex3] ligados aos n pontos das 5 outras face, geram
[tex3]\frac{n.(n-1)(n-2)!}{2!(n-2)!}.5n[/tex3] triangulos com 2 pontos em cada face e outro ponto em outra face.
[tex3]\frac{n.(n-1)}{2}.5n = \frac{5n^2(n-1)}{2}[/tex3]
Então nas 6 faces [tex3]\frac{5n^2(n-1)}{2}.6=5n^2(n-1).3[/tex3] = 5n²(3n-3)triangulos com 2 pontos em uma mesma face.

2º caso: 3 pontos em face disntintas.
Vou contar as retas não contidas nas faces, será um lado do triangulo.
n pontos de uma face ligados a 5n pontos das outras 5 faces = n.5n = 5n² retas
ligando estas 5n² retas a um ponto que não seja das 2 faces que estão os pontos, ou seja n pontos de cada das 4 outras faces.
5n² . 4n triângulos em faces distintas.

Somando os dois casos . . . 5n²(3n - 3) + 5n² . 4n, evidencia 5n², = 5n²(3n - 3 + 4n) = 5n² (7n - 3) triângulos
Concertei o sinal só no último parenteses para "-", tinha digitado "+", mas a intenção era menos mesmo.

c) tetraedros com base numa das faces.
Em uma face a quantidade de bases do tetraedro (que são triangulos) é a combinação de 3 pontos.
Combinação (n, 3) = [tex3]\frac{n!}{3!.(n-3)!}[/tex3] ligados aos n pontos das 5 outras face, geram
[tex3]\frac{n.(n-1)(n-2)(n-3)!}{3!.(n-3)!}.5n[/tex3] tetraedros com base em uma das faces.
[tex3]\frac{n.(n-1)(n-2)}{6}.5n = \frac{5n^2(n-1)(n-2)}{6}[/tex3]
Então nas 6 faces [tex3]\frac{5n^2(n-1)(n-2)}{6}.6[/tex3] = 5n²(n-1)(n-2) tetraedros

[RonaldoJr]

Tá na letra [tex3]"b"[/tex3] eu já notei o q errei... Só contei os triângulos com os 3 vértices em faces distintas...

E vc só errou conta no final...

Somando os dois casos . . . [tex3]5n²(3n-3) + 5n²(4n)[/tex3], evidencia [tex3]5n²[/tex3], = [tex3]5n²(3n-3+4n) = 5n^2 (7n + 3)[/tex3] triângulos

[tex3]5n^2(3n-3) +5n^2.4n=5n^2(3n-3+4n)[/tex3] [tex3]=5n^2(7n-3)[/tex3]

Já na letra [tex3]"d"[/tex3]
Eu que errei conta...

Escolha da base: [tex3]6[/tex3] modos
Vertices da base (ordem não importa): [tex3]{\frac{(n)(n-1)(n-2)}{3!}}[/tex3]
Vertice ( que não é da base... [tex3]V_{n}[/tex3] rsrs ) : [tex3](5n)[/tex3]
Sendo assim, o número tetraedros, com base numa das faces do cubo, podem ser formados é:[tex3]\boxed{ 5n(n-1)(n-2)(n-3) }[/tex3]

[tex3](6) \frac {n(n-1)(n-2)}{3!} (5n)= 5n^2(n-1)(n-2)[/tex3]

Muito obrigado LucianaEmail!

[LucianaEmail]

Concertei o sinal só no último parenteses para "-", tinha digitado "+", mas a intenção era menos mesmo.
Os expoentes já estavam correto, na citação vc usou tex, e se fez copiar colar, o tex não cola os expoentes de texto normal, tem que usar ^2.

[RonaldoJr]

É tinha usado copiar e colar... Concertei = ) ...