Ensino Médio ⇒ 1987/1988 Combinatória Tópico resolvido

[Agash]

Considere um torneio de xadrez com [tex3]10[/tex3] participantes. Na primeira rodada cada participante joga somente uma vez , de modo que há [tex3]5[/tex3] jogos realizados simultaneamente.De quantas formas distintas essa primeira roda pode ser realizada?Justifique essa resposta.

[poti]

Vamos permutar 10 participantes, mas haverá repetição pois eles irão se dividir e 2 sentarão para o mesmo jogo. Lembre-se que para uma permutação com repetição temos [tex3]\frac{n!}{n^{\circ} rep!}[/tex3].

Para cada jogo, temos 1 "repetição", pois temos 2 participantes no jogo. Então o número de repetições é 5:

[tex3]\boxed{\frac{10!}{5!} = 30240}[/tex3]

[Agash]

As repetições pelas quais vc divide por [tex3]5![/tex3] pode me dar um exemplo, por favor = )

Solução 2 (a minha)
Penso assim, o nº de formas de dividir em [tex3]2[/tex3] grupos de [tex3]5[/tex3],[tex3]\frac{10!}{5!5!}[/tex3] ... Para cada grupo eu posso permutar o "outro" grupo de [tex3]5![/tex3] maneiras (não vou ter jogos de pessoas iguais, pq os grupos são distintos)...

Obs: Da forma que fiz estou considerando os grupos
[tex3]J_{2}[/tex3] [tex3]J_{7}[/tex3]
[tex3]J_{4}[/tex3] [tex3]J_{9}[/tex3]
[tex3]J_{3}[/tex3] [tex3]J_{8}[/tex3]
[tex3]J_{1}[/tex3] [tex3]J_{6}[/tex3]
[tex3]J_{5}[/tex3] [tex3]J_{10}[/tex3]
e
[tex3]J_{7}[/tex3] [tex3]J_{2}[/tex3]
[tex3]J_{9}[/tex3] [tex3]J_{4}[/tex3]
[tex3]J_{8}[/tex3] [tex3]J_{3}[/tex3]
[tex3]J_{6}[/tex3] [tex3]J_{1}[/tex3]
[tex3]J_{10}[/tex3] [tex3]J_{5}[/tex3]
Iguais...

Muito obrigado Poti!

[poti]

Pense como se fosse para fazer um anagrama. A gente tem 10 "letras", mas a cada duas vai ser uma "sílaba", sendo que a sílaba é o importante aqui. Então a gente permuta 10 jogadores e divide por 5 que é o número de repetições. Não sei se a analogia é boa.

[Agash]

Consegui entender a analogia!

Muito obrigado pela solução e por tentar me explicar com a analogia!
Abraço

[BRLA]

Para resolver esse problema vamos usar a ideia de combinação. Na primeira partida dos dez participantes queremos escolher APENAS 2, na segunda dos oito restantes queremos apenas 2 também, e assim por diante. Porém na primeira partida podemos escolher, por exemplo, de oito participantes dois, então os casos se repetem, logo:

[tex3]\frac{C_{ 2}^{10} \times C_{2}^{8} \times C_{2}^{6} \times C_{2}^{4} \times C_{2}^{2}}{5!} = 945[/tex3]

para [tex3]C_{n}^{p} = \frac{p!}{n!(p - n)!}[/tex3]

[thxkoppz]

Vamos permutar 10 participantes, mas haverá repetição pois eles irão se dividir e 2 sentarão para o mesmo jogo. Lembre-se que para uma permutação com repetição temos [tex3]\frac{n!}{n^{\circ} rep!}[/tex3].

Para cada jogo, temos 1 "repetição", pois temos 2 participantes no jogo. Então o número de repetições é 5:

[tex3]\boxed{\frac{10!}{5!} = 30240}[/tex3]

Está errado, certo?

[petrasMOD]

thxkoppz,

O correto é 945 como o colega BRLA postou