IME / ITA ⇒ (ITA - 2007) Números Complexos Tópico resolvido

[Rodrigotmacedo]

(ITA-SP) Determine o conjunto A formado por todos os números complexos z tais que
[tex3]\frac{\bar{Z}}{Z-2i}+\frac{2Z}{\bar{Z}+2i} = 3[/tex3] e [tex3]0<|Z-2i|\leq{1}[/tex3]

[Diego996]

Olá, vou postar minha solução, mas não tenho certeza se está correta OK?
Consideremos que [tex3]Z = a + bi[/tex3].
Temos as equações:

[tex3]\frac{{\overline Z }}
{{Z - 2i}} + \frac{{2Z}}
{{\overline Z + 2i}} = 3[/tex3].....(1)
[tex3]0 < \left| {Z - 2i} \right| \leq 1[/tex3].....(2)

Em (1):

[tex3]\frac{{a - bi}}
{{a + bi - 2i}} + \frac{{2(a + bi)}}
{{a - bi + 2i}} = 3 \Rightarrow \frac{{a - bi}}
{{a + (b - 2)i}} + \frac{{2(a + bi)}}
{{a - (b - 2)i}} = 3 \Rightarrow \\
\Rightarrow (a - bi)\left[ {a - (b - 2)i} \right] + 2(a + bi)\left[ {a + (b - 2)i} \right] = 3\left[ {a - (b - 2)i} \right]\left[ {a + (b - 2)i} \right] \Rightarrow \\
\Rightarrow a^2 - a(b - 2)i - abi + b(b - 2)i^2 + 2\left[ {a^2 + a(b - 2)i + abi + b(b - 2)i^2 } \right] = 3\left[ {a^2 - (b - 2)^2 i^2 } \right] \Rightarrow \\
\Rightarrow a^2 - abi + 2ai - abi - b^2 + 2b + 2(a^2 + abi - 2ai + abi - b^2 + 2b) = 3a^2 + 3(b^2 - 4b + 4) \Rightarrow \\
\Rightarrow 3a^2 + 2abi - 2ai - 3b^2 + 6b = 3a^2 + 3b^2 - 12b + 12 \Rightarrow \\
\Rightarrow 3b^2 - 12b + 12 + 3b^2 + 2ai - 6b - 2abi = 0 \Rightarrow 6b^2 - 18b + 12 + 2(a + ab)i = 0 \\
\Rightarrow 6b^2 - 18b + 12 + 2(a + ab)i = 0 + 0i[/tex3]

Devemos satisfazer a igualdade acima. Então:

[tex3]6b^2 - 18b + 12 = 0 \Rightarrow 6(b - 1)(b - 2) = 0\\
\therefore b = 1{\text{ ou }}b = 2 \\[/tex3].....(3)

Também:

[tex3]a + ab = 0 \Rightarrow a(1 + b) = 0[/tex3].....(4)

Observemos que [tex3]b[/tex3] vale 1 ou 2, e que este valor não anula a equação (4). Como (4) deve se anular, conclui-se que [tex3]a = 0[/tex3].

Na equação (2) do início temos:
[tex3]0 < \left| {Z - 2i} \right| \leq 1 \Rightarrow 0 < \left| {a + bi - 2i} \right| \leq 1 \Rightarrow 0 < \left| {a + (b - 2)i} \right| \leq 1 \\
0 < \sqrt {a^2 + (b - 2)^2 } \leq 1 \Rightarrow 0 < a^2 + b^2 - 4b + 4 \leq 1[/tex3]

A solução continua abaixo \/\/\/\/\/

[Diego996]

Na equação (2) do início temos:
[tex3]0 < \left| {Z - 2i} \right| \leq 1 \Rightarrow 0 < \left| {a + bi - 2i} \right| \leq 1 \Rightarrow 0 < \left| {a + (b - 2)i} \right| \leq 1 \\
0 < \sqrt {a^2 + (b - 2)^2 } \leq 1 \Rightarrow 0 < a^2 + b^2 - 4b + 4 \leq 1[/tex3].....(5)

De (3) e (4), temos as seguintes possibilidades que devem satisfazer (5):

I. [tex3]a = 0[/tex3] e [tex3]b = 1[/tex3]:
[tex3]0 < 0^2 + 1^2 - 4 \cdot 1 + 4 \leq 1 \Rightarrow 0 < 1 \leq 1[/tex3] Verdadeira

II. [tex3]a = 0[/tex3] e [tex3]b = 2[/tex3]:
[tex3]0 < 0^2 + 2^2 - 4 \cdot 2 + 4 \leq 1 \Rightarrow 0 < 0 \leq 1[/tex3] Falsa

Portanto, concluimos que o conjunto A procurado é composto apenas pela complexo Z da possibilidade I.
[tex3]Z = a + bi = 0 + 1i = 0 + i \therefore Z = i[/tex3]

Se você souber a resposta posta ai por favor...

[marco_sx]

Diego, a sua resposta está certa. O único inconveniente da sua solução é que não caberia no espaço que o ITA fornece hehe a não ser que você tenha uma letra pequena. Outro inconveniente pra mim (rs) é que certamente eu me perderia no meio de tanta letra.

Vou tentar resolver de outra maneira.

Perceba que [tex3]\frac{\bar{z}}{z-2i}[/tex3] é conjugado de [tex3]\frac{z}{\bar{z}+2i}[/tex3]. Portanto podemos reescrever a equação da seguinte maneira:

[tex3]\bar{w}+2w=3[/tex3]

Fazendo [tex3]w=a+bi[/tex3]:

[tex3]a-bi+2a+2bi=3 \Rightarrow 3a+bi=3 \Rightarrow a=1[/tex3] e [tex3]b=0[/tex3].

Portanto: [tex3]\frac{z}{\bar{z}+2i}=1[/tex3] e [tex3]z=x+yi[/tex3]

[tex3]x+yi=x-yi+2i \Rightarrow y=1[/tex3]

Mas temos: [tex3]0<|x-i|\leq 1 \Rightarrow 0<\sqrt{x^2+1}\leq 1[/tex3]

Então, necessariamente x=0.

Assim: [tex3]z=i[/tex3]