IME / ITA ⇒ Geo. analítica IME1987/1988

[RonaldoJr]

Determine a equação e o raio do círculo de menor diâmetro que possui com o círculo [tex3]x^2+y^2-8x-25=0[/tex3], eixo radical [tex3]y-2x-5=0[/tex3]

Resposta

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[tex3](x+\frac{6}{5})^2+(y-\frac{13}{5})^2=\frac{36}{5}[/tex3]

Obs:Já vi uma solução que utiliza "argumento" geométrico, Se alguem souber fazer só no "braço"(sem argumento, basicamente no "algebrismo"), usando derivada sei lá, para satisfazer a condicionante de menor diâmetro... agradeço MUITO!

[aleixoreis]

Eixo radical é a reta que liga os pontos onde duas circunferências se cruzam.
Então as coordenadas dos pontos onde a reta [tex3]y-2x-5=0[/tex3] encontra a circunferência [tex3]x^2+y^2-8x-25[/tex3] são obtidas
resolvendo os sistema:
[tex3]y-2x-5=0[/tex3]
[tex3]x^2+y^2-8x-25[/tex3]
Então: [tex3]P_1 (0\, 5)\,e\,P_2=({-}\frac{12}{5}\,\frac{1}{5})[/tex3]
Estes 2 pontos limitam o diâmetro do círculo procurado.
O centro deste círculo é o ponto médio de [tex3]P_1P_2[/tex3]:
[tex3]x=\frac{\frac{-12}{5}}{2}={-}\frac{6}{5}[/tex3]
[tex3]y=\frac{5+\frac{1}{5}}{2}=\frac{13}{5}[/tex3]
O raio do círculo é a distância do centro a um dos pontos do diãmetro, no caso [tex3]P_1 (0\,5)[/tex3]
Cálculo do raio: [tex3]r^2=\sqrt{(\frac{6}{5})^2+(5-\frac{13}{5})^2}=\frac{36}{5}[/tex3]
Temos então [tex3]r^2=\frac{36}{5}[/tex3] e o centro do círculo [tex3]C ({-}\frac{6}{5}\,\,\frac{13}{5})[/tex3]

A equação do círculo é:[tex3](x+\frac{6}{5})^2+(y-\frac{13}{5})=\frac{36}{5}[/tex3]

[]'s.

[Agash]

Boa a questão...
Só sei fazer assim tbm...Por acaso sabe algum jeito de fazer essa questão usando derivada para provar para o ponto médio de [tex3]P_1P_2[/tex3] temos o raio mínimo...?