Ensino Médio ⇒ Demonstração: Análise Combinatória | Fatoriais Tópico resolvido

[italoemanuell]

Prove, usando um argumento combinátorio, que os números abaixo são números inteiros para qualquer [tex3]n[/tex3] natural.

a) [tex3]\frac{(2n)!}{2^n}[/tex3]
b) [tex3]\frac{(3n)!}{2^n\cdot 3^n}[/tex3]

Valeu.

[cajuADMIN]

Olá italoemanuell,

Vou resolver a primeira e deixo a segunda pra você, pois é análoga.

• [tex3]\frac{(2n)!}{2^n} = \frac{(2n)!}{2!(2n-2)!} \cdot \frac{(2n-2)!}{2!(2n-4)!} \cdot \frac{(2n-4)!}{2!(2n-6)!} \cdots \frac{6!}{2!4!} \cdot \frac{4!}{2!2!} \cdot\frac{2!}{2!0!}[/tex3]

• [tex3]\frac{(2n)!}{2^n}=C_{2n}^{2}\cdot C_{2n-2}^{2}\cdot C_{2n-4}^{2} \ \cdots \ C_{6}^{2}\cdot C_{4}^{2}\cdot C_{2}^{2}[/tex3]
  
  [tex3]\frac{(2n)!}{2^n}=\prod_{k=0}^{n-1}C_{2(n-k)}^{2}[/tex3]

Como sabemos que cada combinação resulta em um número inteiro, a multiplicação de vários números inteiros também é inteiro.