Olimpíadas ⇒ (OBM - 2007) Geometria Plana: Triângulos

[Z-BosoN]

O triângulo [tex3]ABC[/tex3] é retângulo em [tex3]B.[/tex3] Sejam [tex3]I[/tex3] o centro da circunferência inscrita em [tex3]ABC[/tex3] e [tex3]O[/tex3] o ponto médio do lado [tex3]AC.[/tex3] Se [tex3]\angle AOI = 45^{\circ} ,[/tex3] quanto mede, em graus, o ângulo [tex3]\angle ACB[/tex3]?

Não consegui essa de jeito nenhum!

[Auto Excluído (ID:276)]

A mediana não divide o triângulo retângulo em dois isósceles?

O suplemento de [tex3]B\hat O A[/tex3] é [tex3]B\hat O C,[/tex3] que é igual a [tex3]135^\circ.[/tex3] Os ângulos [tex3]C\hat B O[/tex3] e [tex3]B\hat C O[/tex3] são iguais.

[tex3]B\hat C O = A\hat C B = \frac{45^\circ}{2}= 22^\circ 30'[/tex3]

Desculpe se estiver muita besteira junta.

[Diego996]

Olá pessoal,
Aqui está a solução que eu achei.

AB16.png (32.08 KiB) Exibido 2532 vezes

Na imagem acima, o triângulo [tex3]OFI[/tex3] é retângulo isósceles, pois [tex3]A\hat O I = 45^\circ .[/tex3]
Sejam:

• [tex3]\begin{array}{l}
  AB = c \\
  BC = a \\
  AC = b \\
  \text{Raio}:ID = IE = IF = BD = BE = r \\
  \end{array}[/tex3]

Como [tex3]OFI[/tex3] é isósceles, [tex3]OF = r.[/tex3]

Além disso, [tex3]AD = AB - BD = c - r.[/tex3]

Como [tex3]O[/tex3] é ponto médio:

• [tex3]AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{b}{2}[/tex3]

Também:

• [tex3]AF = AO - OF = \frac{b}{2} - r[/tex3]

Sabemos que, segmentos tangentes à uma circunferência que partem de um mesmo ponto, possuem o mesmo comprimento até o ponto de tangência. Assim:

• [tex3]AD = AF \Rightarrow c - r = \frac{b}{2} - r \Rightarrow b = 2c[/tex3]

Assim, usando o seno:

• [tex3]\text{sen} (A\widehat{C}B) = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b} = \frac{c}{{2c}} = \frac{1}{2} \Rightarrow A\widehat{C}B = 30^\circ[/tex3]

Logo, o ângulo pedido é de [tex3]30^\circ .[/tex3]

Falow.

[Auto Excluído (ID:276)]

Errei ao confundir baricentro com incentro.
Tem toda razão, valeu!
Mas não entendi a relação, o porquê do triângulo [tex3]OFI[/tex3] ser isósceles (você disse que se deve ao fato do ângulo [tex3]A\hat O I[/tex3] medir [tex3]45^\circ ,[/tex3] mas mesmo assim boiei).

[Diego996]

O triângulo [tex3]OFI[/tex3] é isósceles porque possui o ângulo reto (indicado na figura) e o ângulo [tex3]A\hat O I[/tex3] mede [tex3]45^\circ .[/tex3]
[tex3]90^\circ + 45^\circ = 135^\circ[/tex3] logo, como a soma dos ângulos internos do triângulo deve ser [tex3]180^\circ,[/tex3] o outro ângulo deve medir [tex3]45^\circ (45^\circ+135^\circ=180^\circ)[/tex3]
Assim, o triângulo [tex3]OFI[/tex3] tem um ângulo reto e dois ângulos de [tex3]45^\circ,[/tex3] o que implica em ser isósceles. Espero ter esclarecido.

Falow.

[Auto Excluído (ID:276)]

Estava vendo o ângulo [tex3]AIO[/tex3] como o [tex3]AOI,[/tex3] obrigado e desculpe-me.