IME / ITA ⇒ (IME - 1957) Complexo Tópico resolvido

[FilipeCaceres]

Questão inicialmente proposta pelo Poti. Sendo removida da maratona conforme a 6º regra.

(IME-57) Sendo [tex3]p[/tex3] uma raiz complexa de uma equação algébrica do 2º grau, de coeficientes reais, determinar o valor da expressão:

[tex3]P = \frac{p + q}{pq} . \frac{p^2 + q^2}{p^2 q^2} . \frac{p^3 + q^3}{p^3 q^3} ..... \frac{p^n + q^n}{p^n q^n}[/tex3]

onde [tex3]q[/tex3] é outra raiz da equação, em função do módulo e do argumento do complexo [tex3]p[/tex3].

[Radius]

Sabemos que p e q são conjugados. Portanto [tex3]p=re^{i\theta}[/tex3] e [tex3]q=re^{-i\theta}[/tex3]
onde [tex3]r[/tex3] é o módulo do complexo e [tex3]\theta[/tex3] o argumento.

Então vamos ter que

[tex3]\begin{cases}p+q=re^{i\theta}+re^{-i\theta}=2r \cos \theta \\ p^2+q^2=re^{2i\theta}+re^{-2i\theta}=2r \cos 2\theta \\ \vdots \\ p^n+q^n=re^{ni\theta}+re^{-ni\theta}=2r \cos n\theta\end{cases}[/tex3]

Daqui tiramos que

[tex3]\boxed{(p+q)(p^2+q^2)\ldots(p^n+q^n)=2^n\cdot r^n \cdot (\cos \theta \cdot \cos 2\theta \cdot \ldots \cdot \cos n \theta)}[/tex3]

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No denominador vamos ter

[tex3]\begin{cases}pq=(re^{i\theta})\cdot (re^{-i\theta})=r^2 \\ p^2q^2= (r^2e^{2i\theta})\cdot (r^2e^{-2i\theta})=r^4 \\ \vdots \\ p^nq^n=(r^n e^{ni\theta})\cdot (r^ne^{-ni\theta})=r^{2n} \end{cases}[/tex3]

Portanto

[tex3]pq \cdot p^2q^2 \cdot \ldots \cdot p^nq^n=r^2\cdot r^4\cdot \ldots \cdot r^{2n} \\\\ =(r\cdot r^2\cdot \ldots \cdot r^n)^2 \\\\ =(r^{(1+2+...+n)})^2 \\\\ =\boxed{r^{n(n+1)}}[/tex3]

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[tex3]P = \frac{p + q}{pq} . \frac{p^2 + q^2}{p^2 q^2} . \frac{p^3 + q^3}{p^3 q^3} ..... \frac{p^n + q^n}{p^n q^n}[/tex3]

[tex3]P=\frac{2^n\cdot r^n \cdot (\cos \theta \cdot \cos 2\theta \cdot \ldots \cdot \cos n \theta)}{r^{n(n+1)}}[/tex3]

[tex3]\boxed{P=\frac{2^n\cdot (\cos \theta \cdot \cos 2\theta \cdot \ldots \cdot \cos n \theta)}{r^{n^2}}}[/tex3]

É isso. Seria melhor se compactássemos aquele produto de cossenos, mas não sei ainda como.

[ProfLaplace]

Acho que o Radius esqueceu alguns expoentes.
Lá no começo, se [tex3]p=re^{i\theta}[/tex3], então [tex3]p^2=r^2e^{2i\theta}[/tex3], e etc...

Arrumando todos esses expoentes, a resposta ficaria então:
[tex3]\frac{2^n\cdot\prod_{k=1}^{n}\cos(k\theta)}{r^{\frac{n(n+1)}{2}}}[/tex3].