Pré-Vestibular ⇒ (PUC) Geometria Métrica Tópico resolvido

[Helx]

Um paralelepípedo retângulo tem [tex3]750cm^3[/tex3] de volume. Uma de suas diagonais é o dobro da diagonal de uma das faces de menor área; esta diagonal é, por sua vez, o dobro da menor dimensão do paralelepípedo. Calcule a área total do sólido.

Resposta

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Resposta: [tex3]150(2+\sqrt{3})cm^2[/tex3]

[jose carlos de almeida]

Vamos lá:
D=2d
d=2c
[tex3]D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}[/tex3]
[tex3]d=\sqrt{b^2+c^2}[/tex3]

D=2d
[tex3]\sqrt{a^2+b^2+c^2} = 2\sqrt{b^2+c^2}[/tex3]
Isso fica:
[tex3]a^2+b^2+c^2=4(b^2+c^2)[/tex3] (I)
d=2c
[tex3]\sqrt{b^2+c^2}=2c[/tex3]
Isso fica:
[tex3]b^2+c^2=4c^2[/tex3]
O que dá:
[tex3]b=c{\sqrt3}[/tex3]
Levando esse valor em (I) encontramos [tex3]a=2c{\sqrt3}[/tex3]
Vamos colocar esses valores em [tex3]V=750[/tex3] ou seja [tex3]V=a.b.c[/tex3],fica:
[tex3]2c{\sqrt3}.c{\sqrt3}.c=750[/tex3]
Calculando,chegamos a [tex3]c=5[/tex3]
Logo,[tex3]b=5{\sqrt3}[/tex3] e [tex3]a=10{\sqrt3}[/tex3]
Agora vamos calcular a área total:
[tex3]A_T=2(ab+ac+bc)[/tex3]
[tex3]A_T=2(10{\sqrt3}.5{\sqrt3}+10{\sqrt3}.5+5{\sqrt3}.5)[/tex3]
[tex3]A_T=2(150+75{\sqrt3})[/tex3]
Logo:
[tex3]A_T=150(2+\sqrt3)[/tex3]
Abraços.