Olimpíadas ⇒ TEORIA DOS NÚMEROS (SOMA DOS ALGARISMOS)

[rean]

O inteiro N é tal que [tex3]N \times2^N[/tex3] possui 150 divisores a mais que N , a soma dos algarismos de N é igual a:

a)5 b)7 c)9 d)11 e)12

[jade]

boa tarde
eu fis os calculos mas são longos mas eu vou esplicar
[tex3]N.[2^{N}] = 2^{N+1}[/tex3] logo [tex3]2^{N+1}[/tex3] tera N+2 divisores
se N tiver dois divisores logo [tex3]2^{N+1}[/tex3] tem que ter 152 divisores logo N=150 mas 150 não ten dois divisores
eu fis os cauculos e encontrei N com 12 divisores logo N=162-12=160 fatorando 160=2^{5}.5=6.2=12 divisores
1+6+0=7

[SirTcgm]

[tex3]N\cdot 2^N=2^{N+1}[/tex3] ???

Repensa isso aí.

TM

[Agash]

Dica : Tire a atenção do [tex3]N.2^N[/tex3] e coloque o foco em [tex3]150[/tex3] = ]

[lucas36]

Suponha que [tex3]N=2^a\cdot p[/tex3], onde [tex3]p[/tex3] é o produto de primos ímpares em [tex3]N[/tex3]. Suponha que [tex3]p[/tex3] possua [tex3]k[/tex3] divisores.
Logo [tex3]N[/tex3] possui [tex3](a+1)k[/tex3] divisores.
Temos ainda que [tex3]2^N\cdot N=2^{a+N}\cdot p[/tex3] possui [tex3](a+N+1)k[/tex3] divisores e:
[tex3](a+1)k+150=(a+N+1)k[/tex3]
[tex3]Nk=150[/tex3]
Veja que [tex3]N|150[/tex3], onde [tex3]N=1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150[/tex3].
Testando os valores, vemos que [tex3]N=50[/tex3] e [tex3]k=3[/tex3], onde [tex3]50[/tex3] possui [tex3]6[/tex3] divisores e [tex3]50\cdot 2^{50}[/tex3] possui [tex3]156[/tex3] divisores.
Temos [tex3]s(N)=5+0=5[/tex3].
Resposta a)