Ensino Médio ⇒ Triângulos retângulos e Bissetriz Tópico resolvido

[chitao75]

Na figura a seguir, ACD e ABE são triângulos retângulos. AE e AD medem 1 dm e AD é a bissetriz do ângulo BÂE.

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Sejam x e y as medidas, em dm, de AC e CD , nesta ordem. Sabendo-se que xy =2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]/9, é correto afirmar que as medidas de BE AB são respectivamente,

a) 2/3 e [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
b) 4 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]/9 e 7/9
c) 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]/9 e 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]/3
d) 4 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]/9 e 1/3
e) 2/3 e [tex3]\sqrt{2}[/tex3]/3


PESSOAL, NESSA A RESPOSTA É ASSERTIVA "B" NÃO CONSEGUI NEM COMEÇAR A QUESTÃO.

[aleixoreis]

Prezado chitao82:
Veja a seguinte solução:
[tex3]x\cdot y=\frac{2\cdot \sqrt{2}}{9} \rightarrow x=\frac{2\cdot \sqrt{2}}{9y}[/tex3] e [tex3]x^2+y^2=1[/tex3].
Então: [tex3]81y^{4}-81y^2+8=0 \rightarrow 81a^2-81a+8=0 \rightarrow a=\frac{8}{9}\,\, ou\,\, a=\frac{1}{9}[/tex3]
vem: [tex3]y^2=\frac{1}{9} \rightarrow y=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3} [/tex3] e [tex3]y^2=\frac{1}{9} \rightarrow y=\pm \frac{1}{3}[/tex3]
Fazendo: [tex3]x^2=1^2-y^2 \rightarrow y=\frac{2\sqrt{2}}{3}\,\, e\,\, x=\frac{1}{3}[/tex3] ou
[tex3]y=\frac{1}{3}\,\, e\,\,x=\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex3].
Como [tex3]y[/tex3] é menor que [tex3]x \rightarrow x=\frac{2\sqrt{2}}{3} \,\, e\,\, y=\frac{1}{3}[/tex3]
[tex3]\sen \alpha=\frac{\frac{1}{3}}{1}=\frac{1}{3}[/tex3] e
[tex3]\cos \alpha=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{1}=\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex3]
[tex3]\sen 2\alpha=2\sen \alpha \cos \alpha=2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}[/tex3]
[tex3]\cos ^2 \alpha=1-\sen ^2 \alpha \rightarrow \cos ^2 \alpha=1-\frac{16.2}{81}=\frac{49}{81} \rightarrow \cos 2 \alpha=\frac{7}{9}[/tex3]
Então temos [tex3]\sen 2 \alpha=\frac{4\sqrt{2}}{9} \,\, e\,\, \sen 2 \alpha=\frac{7}{9}[/tex3]

Finalmente: [tex3]BE=1\cdot \sen 2 \alpha=\frac{4\sqrt{2}}{9}\,\, e\,\, AB=1\cdot \cos 2 \alpha=\frac{7}{9}[/tex3].

Penso que é isso.
[ ]'s.