Pré-Vestibular ⇒ (UEFS - 2011) Circunferência Tópico resolvido

[josimar]

Considere, no sistema de coordenadas, uma circunferência que tangencia o eixo das ordenadas em y=[tex3]\sqrt {112}[/tex3] e tambem tangencia a reta [tex3]\sqrt {7}[/tex3] y - 3x=0.

Sabendo-se que nenhum ponto da circunferência tem coordenadas negativas, pode-se afirmar que a distância do centro da circunferência a origem é , em u.c., aproximadamente, igual a

A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12

[theblackmamba]

O ponto C é tangente ao ponto [tex3]P[/tex3] do eixo das ordenadas em [tex3]y =\sqrt{112}[/tex3]. Logo o ponto [tex3]C = \(x,\sqrt{112}\)[/tex3]

Podemos falar que a distância do centro [tex3](C)[/tex3] ao ponto [tex3]P\(0,\sqrt{112}\)[/tex3] = a distância de [tex3](C)[/tex3] a reta [tex3](r)[/tex3]. Então temos:

Distância entre ponto e reta:

[tex3]d = \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}[/tex3], em que a,b e c os coeficientes da reta e x,y as coordenadas do centro

Distância entre pontos:

[tex3]d = \sqrt{(x - Px)^2 + (y - Py)^2}[/tex3]

[tex3]dCP = dC(r)[/tex3]
[tex3]\sqrt{(x - 0)^2 + \(\sqrt{112} - \sqrt{112}\)^2} = \frac{|({-}3)\cdot (x) + \(\sqrt{7}\)\cdot {y} + 0|}{\sqrt{({-}3)^2 + \(\sqrt{7}\)^2}}[/tex3]

Elevando ambos lados ao quadrado ficamos com:

[tex3]x^2 = \frac{|\sqrt{7}y - 3x|^2}{16}[/tex3] ~~> aqui vamos substituir o valor de y depois para evitar complicações na resolução
[tex3]x^2 = \frac{7y^2 - 6\cdot \sqrt{7}\cdot y\cdot x + 9x^2}{16}[/tex3]
[tex3]16x^2 = 7y^2 - 6\cdot \sqrt{7}\cdot y\cdot x + 9x^2[/tex3] ~~> [tex3]y =\sqrt{112}[/tex3]
[tex3]16x^2 = 7\cdot \(\sqrt{112}\)^2 - 6\cdot \sqrt{7}\cdot \(\sqrt{112}\)\cdot x + 9x^2[/tex3]
[tex3]7x^2= 7.112 - 6\cdot \sqrt{784}\cdot x[/tex3]
[tex3]7x^2 + 6.28\cdot x - 784 = 0[/tex3]

[tex3]\boxed{x^2 + 24x - 112 = 0}[/tex3]

Resolvendo Bhaskara encontramos [tex3]x = \cancel{{-}28}[/tex3] e [tex3]x = 4[/tex3]
Excluímos um ponto pois no enunciado diz que a circunferência não possui coordenadas negativas.

Achamos [tex3]C\(4,\sqrt{112}\)[/tex3].

Agora vamos achar a distância de [tex3]C[/tex3] a origem [tex3]O(0,0)[/tex3]

[tex3]d =\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2}[/tex3]
[tex3]d =\sqrt{(4)^2 + \(\sqrt{112}\)^2}[/tex3]
[tex3]d =\sqrt{16 + 112}[/tex3]
[tex3]d =\sqrt{128}[/tex3]
[tex3]d \approx 11,3[/tex3]

Resposta D