IME / ITA ⇒ (ITA - 1983) Polinômios Tópico resolvido

[FilipeCaceres]

Questão inicialmente proposta por Poti. Sendo removida da maratona conforme a 6º regra.

(ITA-83) Determine o polinômio de 3º grau que apresenta uma raiz nula e satisfaz a condição [tex3]P(x - 1) = P(x) + (2x)^2[/tex3] para todo x real. Com o auxílio deste, podemos calcular a soma [tex3]2^2 + 4^2 + ... (2n)^2[/tex3], onde n é um número natural, que é igual a:

a) [tex3]\frac{4}{3}n^3 - 2n^2 - \frac{2}{3}n[/tex3]
b)[tex3]\frac{4}{3}n^3 + 2n^2 + \frac{2}{3}n[/tex3]
c)[tex3]\frac{4}{3}n^3 - 2n^2 + \frac{2}{3}n[/tex3]
d) [tex3]4n^3 + 2n^2 + n[/tex3]
e) [tex3]n^3 + n^2 + 2n[/tex3]

Resposta

---

Gabarito: B

[pozelli]

Pode ver a resolução nesse site mesmo:
http://www.tutorbrasil.com.br/forum/vie ... f=1&t=9512

[img]http://www.tutorbrasil.com.br/forum/mim ... 76c70a.gif[/img]

Ai a partir daí tem que terminar o resto.
Só que isso ajuda um pouco.

[FilipeCaceres]

Olá Pozelli,

De posse do resultado tente resolver o resto.

Abraço.

[pozelli]

Temos que [tex3](2x)^2=f(x-1)-f(x)[/tex3]

[tex3]2^2+4^2+...+(2n)^2 = (2.1)^2 + (2.2)^2+...+(2.n)^2[/tex3]

Só que pela primeira equação, podemos substituir na segunda:

[tex3]2^2+4^2+...+(2n)^2 = f(0)-f(1) + f(1)-f(2) + ... + f(n-1)-f(n)[/tex3]

Quase tudo irá se cancelar:

[tex3]2^2+4^2+...+(2n)^2 = f(0)-f(n)[/tex3]

Agora usando o que eu coloquei no outro post:

[tex3]2^2+4^2+...+(2n)^2 = 0 - (-\frac{4n^3}{3} - 2n^2 - \frac{2n}{3})[/tex3]
[tex3]2^2+4^2+...+(2n)^2 = \frac{4n^3}{3} + 2n^2 + \frac{2n}{3}[/tex3]

Até mais!

[FilipeCaceres]

Uma forma para calcularmos a soma sem usar o polinômio.

Temos,
[tex3]2^2+4^2+...+(2n)^2 = (2.1)^2 + (2.2)^2+...+(2.n)^2=4(1^2 + 2^2+...+n^2)[/tex3]

Sabemos que,
[tex3]1^2 + 2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]4(1^2 + 2^2+...+n^2)=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}[/tex3]

Portanto,
[tex3]2^2+4^2+...+(2n)^2=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}=\frac{4}{3}n^3 + 2n^2 + \frac{2}{3}n[/tex3]

Abraço.

[pozelli]

Agora percebi que era um desafio.
Pensei que você não sabia. XD

Até mais!

[FilipeCaceres]

Na verdade eu não coloquei como desafio, mas sim removi da maratona IME/ITA conforme a 6º regra.

Abraço.

[pozelli]

Obrigado por colocar o latex para mim.
Vou tentar aprender.