Ensino Médio ⇒ Problemas Selecionados de Matemática-953

[lecko]

Questão retirada do livro mencionado no título acima:
O maior inteiro [tex3]k[/tex3] para o qual [tex3]2004^{2005^{2006}}+2006^{2005^{2006}}[/tex3] é divisível por [tex3]2005^k[/tex3] é igual a:
[tex3]A) 2004[/tex3]
[tex3]B) 2005[/tex3]
[tex3]C) 2006[/tex3]
[tex3]D) 2007[/tex3]
[tex3]E) 2008[/tex3]

Resposta

---

[tex3]Gabarito:[/tex3] [tex3]Letra[/tex3] [tex3]B[/tex3]

[lecko]

Consegui um pequeno progresso com essa questão:

[tex3]2004=2005-1[/tex3] e [tex3]2006=2005+1[/tex3] logo:

[tex3]\frac{(2005-1)^{2005^{2006}}+(2005+1)^{2005^{2006}}}{2005^k}[/tex3]
fazendo a expansão do Binômio de Newton temos:
Obs.: para facilitar chamemos [tex3]2005^{2006}=t[/tex3]

[tex3]\frac{\sum_{p=0}^{t} {t \choose p}2005^{t-p}.(-1)^p+\sum_{p=0}^{t} {t \choose p}2005^{t-p}.(1)^p}{2005^k}[/tex3]

com queremos que isso seja sempre divisível por [tex3]2005^k[/tex3] teremos a seguinte relação:
[tex3]\sum_{p=0}^{t} {t \choose p}2005^{t-p}.(-1)^p+\sum_{p=0}^{t} {t \choose p}2005^{t-p} \equiv 0 (mod2005^k)[/tex3]
Por enquanto foi o que consegui desenvolver.
O que pensei a seguir mas não consegui nenhum resultado é que [tex3]k \leq t-p[/tex3] para todos os valores de [tex3]p[/tex3].
Se alguém conseguir fazer por favor não deixe de postar a solução.
Desde já: Obrigado!