Ensino Médio ⇒ Problemas Selecionados de Matemática-952 Tópico resolvido

[lecko]

A maior potência de [tex3]2[/tex3] que divide [tex3](2^{2005})![/tex3] é :
[tex3]A) 2^{2^{2005}+1}[/tex3]
[tex3]B) 2^{2^{2005}}[/tex3]
[tex3]C) 2^{2^{2005}-1}[/tex3]
[tex3]D) 2^{2005}[/tex3]
[tex3]E) 2^{2006}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]Gabarito:[/tex3] [tex3]Letra[/tex3] [tex3]C[/tex3]

[gabriel93]

i) De [tex3]1[/tex3] a [tex3]xy[/tex3], temos [tex3]y[/tex3] múltiplos de [tex3]x[/tex3]. De fato, de [tex3]1[/tex3] a [tex3]8 = 2^3 = 2 \cdot (2^2)[/tex3], temos [tex3]2^2 = 4[/tex3] divisores de [tex3]2[/tex3]. Portanto:

Logo, [tex3]2^{2005}[/tex3] =

[tex3]2 \cdot (2^{2004})[/tex3] - Possui [tex3]2^{2004}[/tex3] múltiplos de [tex3]2[/tex3] de [tex3]1[/tex3] a [tex3]2^{2005}[/tex3]
[tex3]2^2 \cdot (2^{2003}) - 2^{2003}[/tex3] múltiplos de [tex3]2^2[/tex3].
.
.
.
[tex3]2^{2005} \cdot (2^0) - 2^0[/tex3] múltiplo de [tex3]2^{2005}[/tex3]

Logo, existem [tex3]2^0 + 2^1 + 2^3 + ... + 2^{2004} = 2^{2005} - 1[/tex3] [tex3](P.G.)[/tex3] fatores [tex3]2[/tex3] na decomposição em fatores primos de [tex3]2^{2005}![/tex3]. Logo, a maior potência que divide [tex3]2^{2005}![/tex3] é [tex3]2^{2^{2005}-1}[/tex3].

[lecko]

Amigo, você se equivocou...ou a resposta do livro está errada.
O livro informa como [tex3]2^{2^{2005}-1}[/tex3] e não [tex3]2^{2005}-1[/tex3].
Desde já obrigado.

[gabriel93]

Você tem razão Lecko. No final da solução acabei me equivocando e passou despercebido que são na realidade [tex3]2^{2005} - 1[/tex3] fatores [tex3]2[/tex3]. Logo a resposta é [tex3]2^{2^{2005}-1}[/tex3]. ;D

[gabriel93]

Podemos provar esse resultado por indução. Repare que a maior potência que divide:

[tex3]2^1![/tex3] é [tex3]2^{2^{0}} = 2[/tex3]
[tex3]2^2![/tex3] é [tex3]2^{2^{0} + 2^{1}} = 2^3 = 8[/tex3] (a maior potência de [tex3]2[/tex3] que divide [tex3]2^2! = 24[/tex3] é o [tex3]8[/tex3])

Queremos provar que a maior potência que divide:

[tex3]2^{n}![/tex3] é [tex3]2^{2^{0} + 2^{1} +... + 2^{n-1}} = 2^{2^{n}-1}[/tex3]

Indução sobre [tex3]n[/tex3]:

[tex3]p(1)[/tex3] é verdade

[tex3]p(n) \Longrightarrow p(n+1)[/tex3] é verdade:

De fato, se há [tex3]2^{n}-1[/tex3] fatores [tex3]2[/tex3] na decomposição de [tex3]2^n![/tex3], então há [tex3]2^{n+1}-1[/tex3] na decomposição de [tex3]2^{n+1}![/tex3]... [tex3]C.Q.D[/tex3]