Olimpíadas ⇒ obm(2001) Tópico resolvido

[jade]

prove que [tex3]11,111,...111111..[/tex3] nunca terão rais quadrada

[Agash]

Do enunciado, para um termo [tex3]i[/tex3] da sequencia seja este [tex3]b_i[/tex3] e [tex3]a_i=b_{i-1}[/tex3] e [tex3]i\neq1[/tex3], temos:

[tex3]a_i = 111111...1 = 10^{i-1} + 10^{i-2} + \dots + 10 + 1 = \frac{10^{i}-1}{9}[/tex3]
[tex3]\rightarrow a_{i}=\frac{10^{i}+1}{3^2}[/tex3]

Sendo [tex3]3^2[/tex3] um quadrado perfeito, basta provarmos que [tex3]10^{i}-1[/tex3] nunca é um quadrado perfeito.

Primeiramente, vamos analisar os possíveis resto da divisão de um número por 4:
[tex3]n \equiv 0(\mod4)\rightarrow n^2 \equiv 0(\mod4)[/tex3]
[tex3]n \equiv 1(\mod4)\rightarrow n^2 \equiv 1(\mod4)[/tex3]
[tex3]n \equiv 2(\mod4)\rightarrow n^2 \equiv 0(\mod4)[/tex3]
[tex3]n \equiv 3(\mod4)\rightarrow n^2 \equiv 1(\mod4)[/tex3]

Supondo por absurdo que [tex3]\exists i \in N,\, i>2[/tex3] tal que [tex3]10^{i-1}-1= q^2 , q\in Z[/tex3]:

Da suposição para congruencia mod 4, temos:
[tex3]10^{i}\equiv 2^{i}\equiv q^2+1 (\mod4)[/tex3]

Para [tex3]i>1[/tex3], devemos ter:
[tex3]0 \equiv q^2+1(\mod 4) \rightarrow q^2 \equiv 3 (\mod4)[/tex3] (Absurdo)

Sendo assim, 11,111,...111111.. nunca terão raiz quadrada. C.Q.D

Obs: Como foi analisado apenas i>2.Para o caso i=2, temos [tex3]a_2 =11[/tex3] que não é um quadrado perfeito, completando a prova.