Olimpíadas ⇒ Tarefa 4 ( PIC 2010)

[GabrielCMBH]

Camila possui R$ 500,00 depositados em sua conta num banco. Duas operações bancárias são permitidas, retirar R$ 300,00 ou depositar R$ 198,00. Essas operações podem ser repetidas quantas vezes Camila desejar, mas somente o dinheiro inicialmente depositado pode ser usado. Qual o maior valor que Camila poderá retirar de sua conta? Como poderá fazê-lo, utilizando para tanto um número mínimo de operações bancárias?

[triplebig]

Temos a equação diofantina

[tex3]300x-198y=k[/tex3] , queremos achar o valor mínimo de [tex3]k[/tex3] , com [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] inteiros positivos.

Se [tex3]k=mdc(300,198)=6[/tex3] , pelo teorema de Bezout, existem valores de [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] que tornam isso verdadeiro. Então, o maior valor que pode ser retirado é [tex3]500-6 = 494[/tex3] reais.

Falta provar que não existem inteiros [tex3]x,y[/tex3] que satisfaçam para [tex3]k<6[/tex3] , mas acho que isso ta incluso no teorema de bezout, não me recordo.

Tome [tex3]y=3[/tex3] e [tex3]x=2[/tex3] , na marra mesmo.

Isso responde o problema, mas não de forma muito formal. Se alguém quiser complementar, fique a vontade, eu n me lembro mais de teoria dos números hehe.

abraços

[lucas36]

Gabriel, isto que você está fazendo é errado, não se pode pedir soluções das tarefas do PIC em hipótese alguma.