Olimpíadas ⇒ Teoria dos Números - Naturais Tópico resolvido

[rean]

Quantos são os algarismos escritos ao colocar os números naturais um ao lado do outro de 1 até 2010?

[walisson]

De 1 até 9 temos 1.9 = 9 algarismos
De 10 até 99 temos 2.90 = 180 algarismos
De 100 até 999 temos 3.900 = 2700 algarismos
De 1000 até 2010 temos 4.1011 = 4044 algarismos
O número total de algarismos será 4044+2700+180+9 = 6933 Algarismos

[jade]

temos que de [tex3]1[/tex3] a [tex3]9[/tex3] são escritos [tex3]9[/tex3] numeros
de [tex3]10[/tex3] a [tex3]99[/tex3] são escritos [tex3]180[/tex3] numeros
de [tex3]100[/tex3] a [tex3]999[/tex3] são escritos [tex3]2700[/tex3] numeros
de [tex3]1000[/tex3] a [tex3]2010[/tex3] são escritos [tex3]4044[/tex3] numeros
logo au todo são escritos [tex3]9+180+2700+4044=6933[/tex3]

[gabriel93]

1º) De [tex3]1[/tex3] até [tex3]a[/tex3]

0
1
2
.
.
.
a

De [tex3]1[/tex3] até [tex3]a[/tex3], teremos [tex3]Q = [(a - 0) + 1] - 1[/tex3] ou [tex3]Q = a[/tex3] algarismos. Por exemplo, de um até [tex3]9[/tex3], temos [tex3]Q = [(9 - 0) + 1] -1 = 9[/tex3] algarismos. O que está nos colchetes é igual a quantidade de números (que é igual a de algarismos) de [tex3]0[/tex3] até [tex3]a[/tex3]. Depois subtraímos [tex3]1[/tex3] para tirar o zero.

2º) De [tex3]1[/tex3] até [tex3]ab[/tex3]

00
01
02
.
.
.
ab

[tex3]Q = [(ab - 00) + 1)] \cdot 2 - (1 + 10)[/tex3] ou [tex3]Q = [(ab + 1) \cdot 2 - 11][/tex3]. [tex3](ab + 1)[/tex3] é a quantidade de números que existe de [tex3]0[/tex3] até [tex3]ab[/tex3]. Depois multiplicamos essa quantidade por [tex3]2[/tex3], para achar a quantidade de algarismos. Vale lembrar que com essa multiplicação estamos contanto o algarismo zero de por exeplo, [tex3]01[/tex3]. Subtraímos [tex3]11[/tex3], para descartar os [tex3]10[/tex3] algarimos [tex3]0[/tex3] que aparece nas dezenas e [tex3]1[/tex3] que aparece na unidade.

De modo geral, a fórmula é:

[tex3]Q = (N+1) \cdot q - (11...1)[/tex3] O um aparece [tex3]q[/tex3] vezes, onde:

[tex3]N[/tex3] é o último número escrito,
[tex3]q[/tex3] é a quantidade de algarismos que tem esse número e,
[tex3]Q[/tex3] é a quantidade de algarismos escritos de [tex3]1[/tex3] até [tex3]N[/tex3].

De [tex3]1[/tex3] até [tex3]2010[/tex3], serão escritos:

[tex3]Q = (2010 + 1) \cdot 4 - 1111 = 6933[/tex3] algarismos