Pré-Vestibular ⇒ (Mackenzie) Teorema do Binômio de Newton Tópico resolvido

[Helx]

No desenvolvimento [tex3]\(x^2+\frac{3}{x}\)^k[/tex3], [tex3]k\in N[/tex3], os coeficientes binomiais do quarto e do décimo-terceiro termos são iguais. O termo independente de [tex3]x[/tex3], feito segundo os expoentes decrescentes de [tex3]x[/tex3], é o:

a) décimo
b) nono
c) oitavo
d) décimo-primeiro
e) décimo-segundo

Resposta

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Letra d)

[jose carlos de almeida]

Os coeficientes binomiais do quarto e do décimo-terceiro termos são respectivamente [tex3]k\choose3[/tex3] e
[tex3]k\choose12[/tex3].

Assim [tex3]\binom{k}{3} = \binom{k}{12}[/tex3] e [tex3]k=2+13=15[/tex3].

Logo o termo geral do desenvolvimento do binômio [tex3]\(x^2+\frac{3}{x}\)^{15}[/tex3] é dado por [tex3]T_{p+1}=\binom{15}{p}\cdot (x^2)^{15-p}\cdot\binom{3}{x}^p=\binom{15}{p}\cdot (x)^{30-2p}\cdot 3^p\cdot x^{-p}=\binom{15}{p}\cdot 3^p\cdot x^{30-3p}[/tex3].

Assim [tex3]T_{p+1}[/tex3] é o termo independente de x se, e somente se, [tex3]30-3p=0[/tex3]. Ou seja [tex3]p=10[/tex3].

Portanto o termo independente de [tex3]x[/tex3] é [tex3]T_{10+1}=T_{11}[/tex3], isto é, o décimo-primeiro termo.

Resposta Letra d.

Abraços.