Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 1993) Função Afim

[_marcio]

Uma função [tex3]f[/tex3] de variável real satisfaz a condição [tex3]f(x+1)=f(x)+f(1)[/tex3], qualquer que seja o valor da variável [tex3]x.[/tex3] Sabendo que [tex3]f(2)=1,[/tex3] podemos concluir que [tex3]f(5)[/tex3] é igual a:

a) [tex3]0[/tex3]
b) [tex3]1[/tex3]
c) [tex3]\frac{5}{2}[/tex3]
d) [tex3]5[/tex3]
e) [tex3]10[/tex3]

[edu_landim]

Temos que

• [tex3]f(2) = f(1\,+\,1)[/tex3]
  
  [tex3]1 = f(1)\,+\,f(1)[/tex3]
  
  [tex3]2f(1)\,=\,1[/tex3]
  
  [tex3]f(1)\,=\,\frac{1}{2}[/tex3]

Pela condição temos [tex3]f(x\,+\,1)\,-\,f(x)\,=\,f(1)[/tex3]

• [tex3]f(2)\,-\,f(1)\,=\,f(1)\text{ }(i)[/tex3]
  
  [tex3]f(3)\,-\,f(2)\,=\,f(1)\text{ }(ii)[/tex3]
  
  [tex3]f(4)\,-\,f(3)\,=\,f(1)\text{ }(iii)[/tex3]
  
  [tex3]f(5)\,-\,f(4)\,=\,f(1)\text{ }(iv)[/tex3]

Somando [tex3](i), (ii), (iii)[/tex3] e [tex3](iv)[/tex3]

• [tex3]f(5)\,-\,f(1)\,=\,4f(1)[/tex3]
  
  [tex3]f(5)\,=\,5f(1)[/tex3]
  
  [tex3]f(5)\,=\,\frac{5}{2}[/tex3]

[Metatron]

Boa noite,

Eu sei que já resolveram, mas apenas por curiosidade, eu acho que podemos encontrar a função [tex3]f.[/tex3] Notemos que se [tex3]f(x+1) = f(x)+ f(1),[/tex3] para todo [tex3]x[/tex3] real, então [tex3]f(x) = ax.[/tex3]

• [tex3]f(1) = \frac{1}{2}\Longrightarrow a\cdot 1=\frac{1}{2}\Longrightarrow a =\frac{1}{2}[/tex3]

Portanto,

• [tex3]f(5) = \frac{5}{2}[/tex3]