Olimpíadas ⇒ contando zeros

[jade]

quantos zeros esista no final de [tex3]9^{2007}+1[/tex3]

[Agash]

Analisando congruência mod 100.Utilizando o teorema de Euler:
[tex3]9^{ \varphi (100)} \equi 1(mod 100) \rightarrow 9^{40} \equi 1 (mod100)[/tex3]
Sendo assim:
[tex3]9^{2007}+1 \equi [(9^{40})]^{50}.9^7+1 \equi 9^7+1(mod100)[/tex3]

Por outro lado:
[tex3]9^3\equi 29\rightarrow 9^6 \equi 29.29\equi 41 \rightarrow 9^7\equi69(mod100)[/tex3]
Portanto:
[tex3]9^{2007}+1 \equi 70 (mod100)[/tex3]

Sendo assim, temos apenas um "zero" no final de [tex3]9^{2007}+1[/tex3].

Seu teclado tem problema?