soma dos cubos

gabriel93 · 2011-10-05T19:48:39+00:00

Elevando x + y = 1 ao quadrado, temos: x^2 + 2xy + y^2 = 1, Com (x^2 + y^2 = 2) 2xy + 2 = 1 xy = - (1)/(2) Logo, x e y são as raízes da seguinte equação…

Olimpíadas ⇒ soma dos cubos

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jade Offline: Mensagens: 147; Registrado em: 08 Ago 2011, 14:20; Agradeceu: 2 vezes; Agradeceram: 15 vezes

Out 2011 05 16:48

soma dos cubos

Mensagempor jade » 05 Out 2011, 16:48

Mensagem por jade » 05 Out 2011, 16:48

Se [tex3]x+y=1[/tex3] e [tex3]x^2 +y^2=2[/tex3], calcule [tex3]x^3+y^3[/tex3]

Editado pela última vez por caju em 07 Ago 2017, 14:01, em um total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3

jade

gabriel93 Offline: Mensagens: 86; Registrado em: 26 Set 2011, 13:03; Localização: Rio de Janeiro; Agradeceu: 4 vezes; Agradeceram: 13 vezes

Out 2011 05 19:55

Re: soma dos cubos

Mensagempor gabriel93 » 05 Out 2011, 19:55

Mensagem por gabriel93 » 05 Out 2011, 19:55

Elevando [tex3]x + y = 1[/tex3] ao quadrado, temos:

[tex3]x^2 + 2xy + y^2 = 1[/tex3], Com [tex3](x^2 + y^2 = 2)[/tex3]
[tex3]2xy + 2 = 1[/tex3]
[tex3]xy = - \frac{1}{2}[/tex3]

Logo, [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são as raízes da seguinte equação:

[tex3]x^2 - x - \frac{1}{2} = 0[/tex3]

Usando a fórmula de Newton ([tex3]S(n) = x^n + y^n[/tex3], onde [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são as raízes da equação):

[tex3]1 \cdot S(3) - 1 \cdot S(2) - \frac{1}{2} \cdot S(1) = 0[/tex3]
[tex3]S(3) - 2 - \frac{1}{2} = 0[/tex3]
[tex3]S(3) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}[/tex3]

Logo, [tex3]x^3 + y^3 = \frac{5}{2}[/tex3]

Editado pela última vez por caju em 07 Ago 2017, 14:00, em um total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3

gabriel93

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Primeira Postagem

edu_vrb

Prove que [tex3]1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = ( 1 + 2 + 3 + \ldots + n )^2[/tex3].

Últ. msg

Fernando Jaeger

Vejamos esse triângulo:

[tex3]\begin{array}{llll}
1&&&\\
3 & 5& &\\
7 & 9 & 11\\
13 & 15& 17 & 19\\
& & & \\
\ldots& & &\end{array}[/tex3]
Podemos observar que:

[tex3]1 = 1^3\\ 3 + 5 = 8 = 2^3\\ 7 + 9 + 11 = 27 = 3^3\\ 13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4^3\\ \ldots[/tex3]...
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Primeira Postagem

wpsilva33

Ache o valor da expressão:

a) [tex3]2^3 + 4^3 + 6^3 +...+ 48^3 + 50^3[/tex3]

Últ. msg

caju

Olá wpsilva33, tudo bem?

Veja que está sendo pedido a soma dos cubos dos 25 primeiros números pares positivos.

Podemos reescrever a soma pedida como:

[tex3](2\cdot 1)^3 + (2\cdot 2)^3 + (2\cdot 3)^3 +...+ (2\cdot 24)^3 + (2\cdot 25)^3[/tex3]...
caju1wpsilva331: 1 Resp.; 1656 Exibições; Últ. msg por caju
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Primeira Postagem

Kaiope

(Colegio Naval-84) A soma dos cubos das raizes da equação: [tex3]x^2 + x - 3 = 0[/tex3]

a)-10
b)-8
c)-12
d)-6
e)-18

Últ. msg

rodBR

Solução:
Sejam [tex3]\alpha \ e \ \beta[/tex3] as raízes. Então pelas relações de Girard, segue:
[tex3]\begin{cases}\alpha+\beta=-1\\
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\end{cases}[/tex3]
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Primeira Postagem

diegocalm

Ache o valor da soma :

[tex3]2^2 + 4^3 + 6^3 +... + 48^3 + 50^3[/tex3]

Últ. msg

Tassandro

diegocalm,
Seja [tex3]S=2^3+4^3+...+50^3[/tex3]
Perceba que
[tex3]S=2^3+2^3×2^3+...+2^3×25^3\\ \frac{S}{2^3}=1^3+2^3+...+25^3\\ Mas\space sabemos \space que\space 1^3+2^3+...+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\text{ (Podemos provar por indução finita!)}\\ \frac{S}{8}=\frac{25^2×26^2}{4}\implies \boxed{\boxed{\color{red}S=845000}}[/tex3]...
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Primeira Postagem

Cláudio02

(Leningrado) Prove que [tex3]\frac{(2^{3}-1)(3^{3}-1)...(100^{3}-1)}{(2^{3}+1)(3^{3}+1)...(100^{3}+1)}=\frac{3367}{5050}[/tex3].

Últ. msg

Juniorhw

Olá,

Conhecendo a fatoração [tex3]x^3\pm 1=(x\pm 1)(x^2\mp x+1)[/tex3], temos:

[tex3]\frac{(2^{3}-1)(3^{3}-1)...(100^{3}-1)}{(2^{3}+1)(3^{3}+1)\cdot...\cdot(100^{3}+1)}\\\\\frac{(2-1)(2^2+2+1)(3-1)(3^2+3+1)(4-1)(4^2+4+1)\cdot...\cdot(100-1)(100^2+100+1)}{(2+1)(2^2-2+1)(3+1)(3^2-3+1)(4+1)(4^2-4+1)\cdot...\cdot(100+1)(100^2-100+1)}[/tex3]...
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