IME / ITA ⇒ Complexos (Lista IME) Tópico resolvido

[Agash]

Considere os números complexos [tex3]z_{1},z_{2}, \dots , z_{n}[/tex3] com

[tex3]|z_{1}|=|z_{2}|=\dots =|z_{n}| =1[/tex3]
Prove que o número
[tex3]E= \frac{(z_{1}+z_{2})(z_{2}+z_{3}) \dots (z_{n-1}+z_{n})(z_{n}+z_{1})}{z_{1}.z_{2}\dots z_{n}}[/tex3]

é real.

Resposta

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Dica : Um número é real se, e somente se, é igual ao seu conjugado complexo.

Desde já, muito obrigado!

[FilipeCaceres]

Olá Agash,

Existe um problema muito semelhante no livro Complex Numbers from A to Z de Titu Andreescu e Dorin Andrica. Excelente Livro, recomendo.

Vou postar a questão com a solução e deixo para você resolver a sua.

Vamos lá...

Problema:
Prove que se [tex3]|z_1|=|z_2|=1[/tex3] e [tex3]z_1.z_2\neq -1[/tex3], então [tex3]\frac{z_1+z_2}{1+z_1.z_2}[/tex3] é um número real.

Solução:
Sabemos que [tex3]z_1.\bar{z_1}=|z_1|^2=1 \Rightarrow \bar{z_1}=\frac{1}{z_1}[/tex3]

Da mesma forma temos [tex3]\bar{z_2}=\frac{1}{z_2}[/tex3]

Seja E o número do problema, assim temos,
[tex3]\bar{E}=\frac{\bar{z_1}+\bar{z_2}}{1+\bar{z_1}.\bar{z_2}}=\frac{\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}}{1+\frac{1}{z_1}.\frac{1}{z_2}}=\frac{z_1+z_2}{1+z_1.z_2}=E[/tex3], e E é um número real.

Abraço.