Ensino Superior ⇒ Cálculo I - Problema de Máximo e Mínimo Tópico resolvido

[daianemmattos]

Alguém sabe como resolver esse problema?

Um tipógrafo quer imprimir boletins com 512 cm2 de texto impresso,margens superior e inferior de 6 cm e margens laterais de 3 cm cada uma. Quais as dimensões da folha para minimizar o gasto de papel?

A resposta é 22cm por 44cm.

[FilipeCaceres]

Olá daianemmattos,

Seja nossa folha de dimensões x,y. Logo a área útil será (x-6) e (y-12)

Assim temos,
[tex3]\begin{cases}A=x.y\\(x-6)(y-12)=512\end{cases}[/tex3]

Reescrevendo a segunda equação,
[tex3]xy-12x-6y=440[/tex3]
[tex3]y(x-6)=440+12x[/tex3]
[tex3]y=\frac{440+12x}{x-6}[/tex3], [tex3]x>6[/tex3]

Substituindo na primeira
[tex3]A(x)=x.\(\frac{440+12x}{x-6}\)[/tex3]
[tex3]A(x)=\frac{440x+12x^2}{x-6},x>6[/tex3]

Derivando e igualando a zero,
[tex3]A'(x)=\frac{(440+24x).(x-6)-1.(440x+12x^2)}{(x-6)^2}=0[/tex3]
[tex3]\cancel{440x}+24x^2-2640+144x-\cancel{440x}-12x^2=0[/tex3]
[tex3]12x^2-144x-2640=0[/tex3]
[tex3]x=-10[/tex3], não serve pois [tex3]x>6[/tex3]
[tex3]x=22cm[/tex3]

Com isso encontramos,
[tex3]y=\frac{440+12.22}{22-6}[/tex3]
[tex3]y=44cm[/tex3]

Portanto as dimensões desejada vale,
[tex3]x=22cm[/tex3]
[tex3]y=44cm[/tex3]

Abraço.

[daianemmattos]

ah, Filipe. Muito obrigada, consegui entender =)

[Jefferson98]

muito bom!! obrigado amigo.