Ensino Médio ⇒ Transformações Trigonométricas

[jgpret]

Olá, senhores e senhoras!

Me deparei com dois problemas desafio do (Iezzi, 1977) que estão me tirando do sério. Já tentei dobrar as expressões "do avesso" e nada. Até pensei em colocá-las na seção de problemas do IME/ITA.
Bem, se alguém conhecer uma estratégia que não estou conseguindo perceber (que deve ser análoga para os dois problemas) ou quiser até mesmo sugerir uma solução ficaria grato.

Um abraço!

Problema 1: Prove que [tex3]\frac{\tan 80^\circ - \tan 20^\circ + \tan 10^\circ - \tan 70^\circ}{8}=\sin 20^\circ[/tex3]

Problema 2: Prove que [tex3]\tan 81^\circ - \tan 63^\circ + \tan 27^\circ - \tan 9^\circ = 4[/tex3]

[manerinhu]

Para o problema 2, temos:
81 = 90 - 9 e 63 = 90 - 27
Lembremos um conceito:
Tg 90-Â = cotg(Â)
Teste com  = 60º
Tg 90-60 = Tg 30 = raizde3/3
Cotg de 60 = 1/raizde3 = raizde3/3 = Tg de 30º

Outro conceito:
Tg = Sen/Cos
CoTg = 1/Tg = Cos/Sen
Tg + CoTg = Sen/Cos + Cos/Sen = Sen² + Cos²/SenCos = 1/SenCos

Agora é só trabalho mecânico para resolver os problemas.

[jgpret]

Caro colega,

Estou ciente de todas essas transformações, mas mesmo assim não consigo demonstrar as identidades. Se você conseguiu poderia mostrar-me?

Abraço,
J.

[manerinhu]

O problema 1 é análogo do problema 2, aqui vai a solução do problema 2:
[tex3]tan 9 - tan 63 + tan 81 - tan 27[/tex3]
[tex3]tan 9+ tan 81 - (tan 27+ tan 63)[/tex3]
[tex3]tan 9+ tan (90-9) - (tan 27+ tan(90-27))[/tex3]
[tex3]tan 9+ cot 9 - (tan 27 + cot 27)[/tex3]
[tex3]\frac{1}{(cos 9*sin 9)} - \frac{1}{(cos 27*sin 27)}[/tex3]
Agora, para [tex3]sin(9+9) = sin 18 = sin9*cos9 + cos9*sin9 => sin18 = 2*sin9*cos9 => sin9*cos9 = \frac{sin18}{2}[/tex3]
Mesma coisa para [tex3]cos 27*sin27 = \frac{sin54}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{2}{sin 18} - \frac{2}{sin 54}[/tex3]
[tex3]\frac{2*(sin 54 - sin 18)}{(sin 18*cos36)}[/tex3]
Por Prostaférese Em [tex3]sin 54 - sin 18[/tex3]
[tex3]sin 54 - sin 18 = 2*sin\frac{(54-18)}{2}*cos\frac{(54+18)}{2}[/tex3]
[tex3]sin 54 - sin 18 = 2*sin18*cos36[/tex3]
[tex3]sin 18*cos 36 = \frac{(sin54 - sin18)}{2}[/tex3]
[tex3]2*\frac{2*sin18*cos36}{(sin 18*cos 36)}[/tex3]
[tex3]2*2 = 4[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá Manerinhu,

Vou pedir que você leia este tutorial, após a leitura peço que você edite a sua mensagem utilizando o Latex.

Agradeço desde já.

Grande abraço.

[FilipeCaceres]

Olá Manerinhu,

Obrigado por ter editado seu post, ficou muito melhor.

Eu sei que no início é um pouco complicado... Uma dica para evitar que você fique editando várias vezes e clicando em prever, fazendo isso você verá como ira ficar a sua mensagem antes de enviar.

Grande abraço.