Olimpíadas ⇒ OBM (2008) - Circunferência e triângulos Tópico resolvido

[fernandobr]

O desenho abaixo mostra um semicírculo e um triângulo isósceles de mesma área. Qual é o valor de [tex3]tg \alpha[/tex3]?

OBM.png (5.41 KiB) Exibido 3193 vezes

[theblackmamba]

Lembro muito bem desta questão


Sabemos que a área de um semicírculo é dado por:

[tex3]A = \frac{\pi r^2}{2}[/tex3], em r é o raio do círculo.

Sabemos que a área de um triângulo é dado por:

[tex3]A_{t} = \frac{lado.lado.sen \alpha}{2}[/tex3]

Pelo enunciado temos que:

[tex3]\frac{\pi r^2 }{\cancel{2}} = \frac{l.2r.sen \alpha}{\cancel{2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{sen \alpha = \frac{\pi r}{2l}}[/tex3]

Lembrando agora do teorema dos cossenos:
[tex3]x^2 = a^2 + b^2 - 2.a.b.cos \alpha[/tex3], em que a e b são lados adjacentes ao ângulo e x é o lado oposto ao ângulo.

Aplicando na figura:

[tex3]\cancel{l^2} = \cancel{l^2} + (2r)^2 - 2.l.2r.cos \alpha[/tex3]
[tex3]0 = 4r^2 - 4.l.r.cos \alpha[/tex3]
[tex3]\cancel{4.r}.l.cos \alpha = \cancel{4.r}.r[/tex3]
[tex3]\boxed{cos \alpha = \frac{r}{l}}[/tex3]

Enfim conseguimos o que o enunciado pede:

[tex3]tg \alpha = \frac{sen \alpha}{cos \alpha}[/tex3]
[tex3]tg \alpha = \frac{\frac{\pi r}{2l}}{\frac{r}{l}}[/tex3], logo:
[tex3]\boxed{\boxed{tg \alpha = \frac{\pi}{2}}}[/tex3]

Abraço!