Pré-Vestibular ⇒ (UFGD) Progressão Geométria Infinita Tópico resolvido

[fellipiortiz]

Obtenha a solução da equação dada por [tex3]x + \frac{x}{2} + \frac{x}{4} + \ldots + \frac{x}{2^{n-1}} + \ldots = 12[/tex3]
, considerando que o primeiro membro da igualdade desta equação é a soma de uma progressão geométrica infinita. Assim, o conjunto solução é dado por:

a) S = {2}
b) S = {3}
c) S = {6}
d) S = {12}
e) a solução não pode ser obtida, pois apresenta uma soma de infinitos valores

[cajuADMIN]

Olá fellipiortiz,

Analisando a parte esquerda da equação, temos uma progressão geométrica infinita que possui razão:

[tex3]\boxed{q=\frac{1}{2}}[/tex3]

E primeiro termo:

[tex3]\boxed{a_1=x}[/tex3]

Vamos aplicar a fórmula da soma dos infinitos termos de uma PG infinita: [tex3]S_\infty=\frac{a_1}{1-q}[/tex3]

[tex3]S_\infty=\frac{x}{1-\frac 12}[/tex3]

[tex3]S_\infty=\frac{x}{\frac 12}[/tex3]

[tex3]S_\infty=2x[/tex3]

Mas, o próprio enunciado nos diz que esta soma vale [tex3]12[/tex3]. Podemos, então, escrever:

[tex3]2x=12[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{x=6}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju