Ensino Superior ⇒ Rotação de Eixos Tópico resolvido

[graça]

Verifique, por meio de uma rotação dos eixos, que curva representa a equação:

[tex3]x^2-2xy+y^2-4\sqrt{2}x -4\sqrt{2}y =0[/tex3]

[theblackmamba]

Equação geral:

[tex3]Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0[/tex3]

Vamos achar o ângulo de rotação pela expressão:
[tex3]\tan(2\theta)=\frac{B}{A-C}[/tex3]

Mas veja que [tex3]A=C[/tex3], assim [tex3]B\cos (2\theta)=0\,\,\Rightarrow\,\,2\theta=90^{\circ}\,\,\therefore\,\,\boxed{\theta=45^{\circ}}[/tex3]

Após a rotação temos:

[tex3]\begin{cases}x=x' \cos\theta-y' \sin \theta \\y=x' \sin \theta +y' \cos\theta\end{cases}\,\,\Longrightarrow \,\,\begin{cases}x=x' \cos45-y' \sin 45 \\y=x' \sin 45 +y' \cos45\end{cases}[/tex3]

[tex3]x=\frac{x'-y'}{\sqrt{2}}\\y=\frac{x'+y'}{\sqrt{2}}[/tex3]

Agora temos que substituir estes valores na equação dada no enunciado:

[tex3]\left(\frac{x'-y'}{\sqrt{2}}\right)^2-\cancel{2}\cdot \left(\frac{x'-y'}{\cancel{\sqrt{2}}}\right)\left(\frac{x'+y'}{\cancel{\sqrt{2}}}\right)+\left(\frac{x'+y'}{\sqrt{2}}\right)^2-4\cancel{\sqrt{2}}\cdot \left(\frac{x'-y'+x'+y'}{\cancel{\sqrt{2}}}\right)=0[/tex3]
[tex3]\frac{(x'-y')^2+(x'+y')^2}{2}-(x'-y')(x'+y')-4\cdot (2x')=0[/tex3]
[tex3]\frac{2(x'^2+y'^2)}{2}-x'^2+y'^2-8x'=0[/tex3]
[tex3]2y'^2-8x'=0[/tex3]
[tex3]\boxed{y'^2=4x'}[/tex3]

Logo a equação representa uma parábola!

Abraço!