Ensino Médio ⇒ Alternativa ao paradoxo do aniversário com casos exclusivos Tópico resolvido

[MuCephei]

Estava lendo alguns problemas matemáticos , e um que me despertou interesse foi o do paradoxo do aniversário. depois de ``brincar´´ um pouco com a fórmula , pensei em fazer uma expressão que generalizasse a chance de que , em um grupo de n pessoas , exatamente c dessas pessoas façam aniversário no mesmo dia , ao contrário do paradoxo do aniversário , onde números maiores ou iguais a c de pessoas faziam aniversário na mesma data. por testes cheguei nesta expressão :
[tex3]\frac{\frac {364!}{(364-n+c)!}}{365^n}[/tex3]
porém , ao testar o c valendo 2 e o n 23 (como no caso original do paradoxo , onde há a chance de 50% de pelo menos 2 pessoas fazerem aniversário no mesmo dia , entre um grupo de 23), eu cheguei em resultado ínfimo, que deveria ser um pouco menor que meio , mas que acaba sendo extremamente menor.gostaria de saber o que faço para chegar em uma expressão correta.

OBS: tentei fazer uma ``prova real´´ somando todos os valores de c entre 2 e 23 (mantendo n constante como 23) , e mesmo assim o resultado foi muito menor que meio , a chance de 2 ou mais pessoas fazerem aniversário no mesmo dia.

[cajuADMIN]

Olá MuCephel,

Consegui imaginar seu raciocínio ao chegar nesta fórmula, pois cheguei nela também (no meio do raciocínio).

Portanto, sei lhe dizer o que falta para você terminá-la e corrigi-la.

Você escolheu c pessoas dentre as n possíveis e calculou 1/365 para cada uma delas. Aqui há um erro. Você deve ter encontrado como resultado desta parte do raciocínio [tex3]\(\frac{1}{365}\)^c[/tex3], mas o correto é [tex3]\(\frac{1}{365}\)^{c-1}[/tex3], pois a primeira pessoa a ser escolhida não possui probabilidade 1/365, pois ela vai ser a referência para que os outros tenham a probabilidade de ter o aniversário no mesmo dia que ela.
Bom, mas isto vai gerar apenas uma diferença no denominador, que de n vai virar n-1. Ainda não corrige totalmente a fórmula.

A última coisa que devemos pensar para correção, é o fato de que escolhemos c pessoas dentre n, e esta fórmula é a probabilidade de que um grupo previamente escolhido de c pessoas tenham aniversário no mesmo dia, mas o que queremos é a probabilidade de que c pessoas tenham, ou seja, qualquer grupo de c pessoas no meio das n façam aniversário no mesmo dia.

Portanto, devemos multiplicar sua fórmula por [tex3]C_n^c[/tex3].

[tex3]\frac{364!}{(364-n+c)!365^{n-1}}\cdot \(n\\c\)[/tex3]

Acredito que se você fizer a prova real com estas correções, você terá o resultado pretendido.

Uma curiosidade, qual software está usando para fazer o cálculo da prova real?

Grande abraço,
Prof. Caju

[MuCephei]

Muito obrigado ,realmente não levei em consideração algumas combinações a menos que destroem todo do desenvolvimento...agora acabo de fazer um teste e vejo realmente o que deveria ser o resultado...respondendo à sua questão , tentei usar o geogebra (mantendo um dos valores , ``n´´ ou ``c´´ constantes) porém ele sempre arredonda (364!) para infinito e aí se torna uma função indefinida.desse modo eu uso uma calculadora científica online , aqui vai o site :
http://web2.0calc.com/