IME / ITA ⇒ (IME - 1994) Polinômios Tópico resolvido

[theblackmamba]

Prove que o polinômio: [tex3]p(x) = x^{999} + x^{888} + x^{777} + ... + x^{111} + 1[/tex3] é divisível por [tex3]x^{9} + x^{8} + x^{7} + ... + x + 1[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá theblackmamba,

Veja aqui uma solução.

Abraço.

[theblackmamba]

Olá filipe,
Consegui entendi o raciocínio da solução do exercício, só não ficou muito claro uma coisa:
Por que: [tex3]\theta = cis\(\frac{2k \pi}{10}\)[/tex3], [tex3]k = 1,2,3...9[/tex3] ?

Abraço !

[theblackmamba]

Uma outra solução:

[tex3]x^{10} - 1 = (x - 1)(x^9 + x^8 + ... + x + 1)[/tex3]

[tex3]x^{10} - 1 \equiv 0(mod. x^9 + x^8 + ... + x + 1) \Right x^{10} \equiv 1(mod x^9 + x^8 + ... + x + 1)[/tex3]

Agora podemos substituir as potências de [tex3]x^{10}[/tex3] do polinômio [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3]1[/tex3]:
[tex3]P(x) = x^9 \cdot\underbrace{(x^{10})}_1 ^{99} + x^8 \cdot \underbrace{(x^{10})}_1 ^{88} + ... x \cdot \underbrace{(x^{10})}_1 ^{11} + 1 \equiv x^9 + x^8 + ... + x + 1 \equiv 0(mod. x^9 + x^8 + ... + x + 1)[/tex3] Sendo o resto igual a zero o polinômio é divisível pelo outro como queríamos demonstrar.