Olimpíadas ⇒ IMO- Hong Kong Preliminary Selection Contest

[thebestgui]

O inteiro positivo n é tal que, eliminando seus três últimos algarismos da direira, obtemos a raiz cubica de n. A soma dos algarismos de n é:

A) 22
B) 23
C) 24
D) 25
E) 26

Resposta:

---

E

[bryanbr2]

cara acho que essa questão é do Hong Kong Preliminary Selection Contest!
tipo:
Seja [tex3]n = 1000a + b[/tex3], 0 [tex3]\leq[/tex3] b [tex3]\leq[/tex3] 999
Removendo-se os 3 últimos algarismos de n, obtem-se o número a.
a = [tex3]\sqrt[3]{n}[/tex3] [tex3]\Longleftrightarrow[/tex3] [tex3]a^{3} = n[/tex3]
[tex3]a[/tex3]([tex3]a^{2}[/tex3] [tex3]- 1000[/tex3]) = [tex3]b[/tex3]
Como [tex3]b \ge 0[/tex3] [tex3]\Longrightarrow[/tex3] [tex3]a \ge 32[/tex3].
Se [tex3]a \ge 33[/tex3] não convém, pois [tex3]33[/tex3]([tex3]89[/tex3]) = [tex3]b[/tex3], implica [tex3]b[/tex3] muito maior do que [tex3]999[/tex3].
Logo temos que [tex3]a = 32[/tex3] [tex3]\Longrightarrow[/tex3] [tex3]b = 768[/tex3].
Ocasionado que [tex3]n = 32768[/tex3], logo [tex3]3 + 2 + 7 + 6 + 8 = 26[/tex3]

[thebestgui]

cara acho que essa questão é do Hong Kong Preliminary Selection Contest!
tipo:
Seja [tex3]n = 1000a + b[/tex3], 0 [tex3]\leq[/tex3] b [tex3]\leq[/tex3] 999
Removendo-se os 3 últimos algarismos de n, obtem-se o número a.
a = [tex3]\sqrt[3]{n}[/tex3] [tex3]\Longleftrightarrow[/tex3] [tex3]a^{3} = n[/tex3]
[tex3]a[/tex3]([tex3]a^{2}[/tex3] [tex3]- 1000[/tex3]) = [tex3]b[/tex3]
Como [tex3]b \ge 0[/tex3] [tex3]\Longrightarrow[/tex3] [tex3]a \ge 32[/tex3].
Se [tex3]a \ge 33[/tex3] não convém, pois [tex3]33[/tex3]([tex3]89[/tex3]) = [tex3]b[/tex3], implica [tex3]b[/tex3] muito maior do que [tex3]999[/tex3].
Logo temos que [tex3]a = 32[/tex3] [tex3]\Longrightarrow[/tex3] [tex3]b = 768[/tex3].
Ocasionado que [tex3]n = 32768[/tex3], logo [tex3]3 + 2 + 7 + 6 + 8 = 26[/tex3]

bryanbr2,
Valeu por responder.
Mas fiquei com dúvidas como chegou a essas conclusões: [tex3]n = 1000a + b[/tex3] e 0 [tex3]\leq[/tex3] b [tex3]\leq[/tex3] 999. E como removendo-se os 3 últimos algarismos de n, obtem-se o número a ; não teria que chamar de outra incognita(Porque já usou o a e como afirmar que são o mesmo)?
Abraços