Maratonas de Matemática ⇒ I Maratona de Matemática IME/ITA

[FilipeCaceres]

Soluçao do Problema 140

Do enunciado,
[tex3]5M,\,2F,\,1Q,\,4O:\,\,\,C_{7,5}\cdot C_{3,2}\cdot C_{4,1}\cdot C_{4,4}=252[/tex3]
[tex3]5M,\,2F,\,2Q,\,3O:\,\,C_{7,5}\cdot C_{3,2}\cdot C_{4,2}\cdot C_{4,3}=1512[/tex3]

[tex3]5M,\,3F,\,0Q,\,4O:\,\,C_{7,5}\cdot C_{3,3}\cdot C_{4,0}\cdot C_{4,4}=21[/tex3]
[tex3]5M,\,3F,\,1Q,\,3O:\,\,C_{7,5}\cdot C_{3,3}\cdot C_{4,1}\cdot C_{4,4}=336[/tex3]
[tex3]5M,\,3F,\,2Q,\,2O:\,\,C_{7,5}\cdot C_{3,3}\cdot C_{4,2}\cdot C_{4,2}=756[/tex3]

Somando temos que: 2877 comissões. Letra D

---

Problema 141

(ITA - 1991) Se [tex3]z = \cos t + i\sen t[/tex3], onde [tex3]0 < t < 2p[/tex3] , então podemos afirmar que [tex3]w=\frac{1+z}{1-z}[/tex3] é dado por:

a) [tex3]i\cot\frac{t}{2}[/tex3]
b) [tex3]i\tan\frac{t}{2}[/tex3]
c) [tex3]i\cot t[/tex3]
d) [tex3]i\tan t[/tex3]
e) N.R.A

[theblackmamba]

Solução do Problema 141

[tex3]w = \frac{1 + \cos t + i\cdot \sen t}{1 - \cos t - i\cdot \sen t}[/tex3]

Lembrando das relações:

[tex3]\cos \theta = 2\cos ^2\, \frac{\theta}{2} - 1; {-}\cos \theta = 1 - 2\sen ^2\,\frac{\theta}{2}[/tex3] e [tex3]\sen \theta = 2\cdot \sen \frac{\theta}{2}\cdot \cos \,\frac{\theta}{2}[/tex3]

Substituindo:

[tex3]w = \frac{1 + \left(2\cos ^2 \,\frac{t}{2} - 1\right) + i\cdot \left(2\cdot \sen \frac{t}{2}\cdot \cos \,\frac{t}{2}\right)}{1 - \left(1 - 2\sen ^2\,\frac{t}{2}\right) - i\left(2\sen \frac{t}{2}\cdot \cos \,\frac{t}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]w = \frac{\left(2\cos ^2\,\frac{t}{2}\right)\cdot \left({-}i^2\right) + i\left(2\sen \frac{t}{2}\cdot \cos \,\frac{t}{2}\right)}{\left(2\sen ^2 \frac{t}{2}\right) - i\left(2\sen \frac{t}{2}\cdot \cos \,\frac{t}{2}\right)}[/tex3], colocando os fatores comuns em evidência:
[tex3]w = \frac{2i\cdot \cos \frac{t}{2}\left(\cancel{\sen \frac{t}{2} - i\cdot \cos \frac{t}{2}}\right)}{2\sen \frac{t}{2}\left(\cancel{\sen \frac{t}{2} - i\cdot \cos \,\frac{t}{2}}\right)}[/tex3]
[tex3]\boxed{w = i\cdot \left(\cotg \frac{t}{2}\right)} \text{Resposta}[/tex3] A

---

Problema 142

(ITA - 1976) Dado um paralelepípedo retângulo, de volume V, cujas arestas estão progressão geométrica, de razão q, podemos garantir que sua área total é dada por:

a) [tex3]\frac{2V^{\frac{2}{3}}}{q}\left(q^2 + q + 1\right)[/tex3]
b) [tex3]\frac{V^{\frac{2}{3}}}{q}\left(q^2 + q - 1\right)[/tex3]
c) [tex3]\frac{V^{\frac{2}{3}}}{q + 1} \left(q^2 + q + 1\right)[/tex3]
d) [tex3]\frac{V^2}{q^3}\left(q + 1\right)[/tex3]
e) [tex3]\text{n\cdot d\cdot a}[/tex3]

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 142

Seja [tex3]\frac{x}{q},x,xq[/tex3] as dimensões.

O Volume será dado por:
[tex3]V=\frac{x}{q}\cdot x\cdot x\cdot q=x^3[/tex3]

A Área será:
[tex3]A=2\left(\frac{x}{q}\cdot x+\frac{x}{q}\cdot x\cdot q+x\cdot x\cdot q\right)[/tex3]
[tex3]A=2\left(\frac{x^2}{q}+x^2+x^2q\right)[/tex3]
[tex3]A=\frac{2\sqrt[3]{V^2}}{q}(q^2+q+1)[/tex3]. Letra A

---

Problema 143

(ITA -91) Se [tex3]a \in \mathbf{R}[/tex3] com a > 0 e [tex3]\arcsen\frac{a-1}{a+1}[/tex3] está no primeiro quadrante, então o valor de [tex3]\tg \left(\arcsen\frac{a-1}{a+1}+\arctg\frac{1}{a\sqrt{2}}\right)[/tex3] é:

a) [tex3]\frac{a+1}{2\sqrt{a}}[/tex3]
b) [tex3]\frac{2\sqrt{a}}{3a+1}[/tex3]
c) [tex3]\frac{2a\sqrt{a}}{3a+1}[/tex3]
d) [tex3]\frac{2a}{3a+1}[/tex3]
e) n.d.a

[theblackmamba]

Solução do Problema 143

Para facilitar, vamos tomar como: [tex3]\varphi = \arccos\left(\frac{a - 1}{a + 1}\right)[/tex3] e [tex3]\theta = \arctan\left(\frac{1}{2 \sqrt{a}}\right)[/tex3]
O valor desejado será: [tex3]\tan(\varphi + \theta)[/tex3]

[tex3]\text{sen } \varphi = \frac{a - 1}{a + 1}[/tex3]
[tex3]\cos \varphi = \sqrt{1 - \left(\frac{a - 1}{a + 1}\right)^2} \rightarrow \cos \varphi = \sqrt{\frac{(a + 1)^2 - (a - 1)^2}{(a + 1)^2}}[/tex3] [tex3]\rightarrow \cos \varphi = \sqrt{\frac{a^2 - a^2 + 1 - 1 + 2a + 2a}{(a + 1)^2}} = \frac{2\sqrt{a}}{a + 1}[/tex3] (OBS.: [tex3]a[/tex3] é [tex3]>0[/tex3] )

[tex3]\tan \varphi = \frac{(a - 1)}{\cancel{(a + 1)}} \cdot \frac{\cancel{(a + 1)}}{2 \sqrt{a}} = \frac{a - 1}{2\sqrt{a}}[/tex3]
[tex3]\tan \theta = \frac{1}{2 \sqrt{a}}[/tex3]

Voltando na primeira equação:

[tex3]\tan\left(\varphi + \theta\right) = \frac{\frac{a-1}{2\sqrt{a}} + \frac{1}{2 \sqrt{a}} }{1 - \frac{a - 1}{2 \sqrt{a}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{a}}} = \frac{\frac{a}{2 \sqrt{a}}}{\frac{4a - a + 1}{4a}} = \frac{4a^2}{2 \sqrt{a}(3a + 1)} = \frac{2\cdot\cancel{2a}\cdot a\cdot\sqrt{a}}{\cancel{2a}(3a + 1)} = \boxed{\frac{2a \sqrt{a}}{3a + 1}}[/tex3] [tex3]\text{Resposta}[/tex3] C

[FilipeCaceres]

Quero agradecer a todos que se dedicaram, postando soluções, questões....

Espero que tenha sido útil para os estudos.

Um forte abraço.

FIM !