IME / ITA ⇒ CN - Equação Diofantina com duas variáveis.

[thebestgui]

Considere a equação [tex3]16x-35y=1[/tex3] com x, y inteiros positivos e menores que 100. O número de pares ordenados (x,y) que satisfazem a equação é :

A) 1
B) 2
C) 4
D) 6
E) 9

OB: não sei como achar a solução particular (x0, y0) para colocar na fórmula geral.

Resposta:

---

C

[Cássio]

Primeiro, como [tex3]mdc(16,35) = 1,[/tex3] a equação tem solução.

O método que eu conheço para achar uma solução particular, é através do algoritmo de Euclides para mdc:

1 - Você divide o maior número pelo menor, com resto:

[tex3]35 = 16\cdot2+3[/tex3]

2 - Vamos pegando o dividendo da última divisão e dividindo pelo resto da última divisão até encontrar resto 1:

[tex3]16 = 3\cdot5+1[/tex3] (Nesse caso o resto 1 apareceu bem cedo, hehe!)

3 - Vamos escrevendo, meio que de trás pra frente:

[tex3]1 = 16-3\cdot5[/tex3]

[tex3]3 = 35-16\cdot2[/tex3]

[tex3]1 = 16-\cdot(35-16\cdot2)\cdot5[/tex3]

[tex3]1 = 16-35\cdot5+16\cdot10[/tex3]

[tex3]1 = 16\cdot11-35\cdot5.[/tex3]

Uma equação diofantina da forma [tex3]ax-by=c,[/tex3] cujas solução particular é [tex3]x=x_0 \ e \ y= y_0[/tex3] é dada por:

[tex3]x = x_0+bt \ e \ y = y_0 +at[/tex3]

, com [tex3]t\in\mathbb{Z}.[/tex3]

Logo, as soluções dessa equação são da forma

[tex3]x = 11+35t \ e \ y = 5+16t[/tex3]

Agora basta resolver o sistema:

[tex3]\begin{cases}0\le 35t+11\le100 \\ \\ 0\le16t+5\le 100\end{cases}[/tex3]

Repare que [tex3]0\le35t+11\le100\Longleftrightarrow 0\le t\le 2[/tex3]

[tex3]0\le16t+5\le100\Longleftrightarrow0\le t\le 5[/tex3]

Daí que [tex3]0\le t\le 2[/tex3]. Então temos 3 valores que satisfazem as condições do enunciado:

[tex3]t = 0\Longrightarrow x = 11 \ e \ y = 5.[/tex3]

[tex3]t = 1\Longrightarrow x =46 \ e \ y = 21[/tex3]

[tex3]t = 2\Longrightarrow x = 81 \ e \ y = 37[/tex3]

Bem, eu acho que existem apenas 3 valores de x,y menores que 100 que sejam solução da equação.

[thebestgui]

Primeiro, como [tex3]mdc(16,35) = 1,[/tex3] a equação tem solução.

O método que eu conheço para achar uma solução particular, é através do algoritmo de Euclides para mdc:

1 - Você divide o maior número pelo menor, com resto:

[tex3]35 = 16\cdot2+3[/tex3]

2 - Vamos pegando o dividendo da última divisão e dividindo pelo resto da última divisão até encontrar resto 1:

[tex3]16 = 3\cdot5+1[/tex3] (Nesse caso o resto 1 apareceu bem cedo, hehe!)

3 - Vamos escrevendo, meio que de trás pra frente:

[tex3]1 = 16-3\cdot5[/tex3]

[tex3]3 = 35-16\cdot2[/tex3]

[tex3]1 = 16-\cdot(35-16\cdot2)\cdot5[/tex3]

[tex3]1 = 16-35\cdot5+16\cdot10[/tex3]

[tex3]1 = 16\cdot11-35\cdot5.[/tex3]

Uma equação diofantina da forma [tex3]ax-by=c,[/tex3] cujas solução particular é [tex3]x=x_0 \ e \ y= y_0[/tex3] é dada por:

[tex3]x = x_0+bt \ e \ y = y_0 +at[/tex3]

, com [tex3]t\in\mathbb{Z}.[/tex3]

Logo, as soluções dessa equação são da forma

[tex3]x = 11+35t \ e \ y = 5+16t[/tex3]

Agora basta resolver o sistema:

[tex3]\begin{cases}0\le 35t+11\le100 \\ \\ 0\le16t+5\le 100\end{cases}[/tex3]

Repare que [tex3]0\le35t+11\le100\Longleftrightarrow 0\le t\le 2[/tex3]

[tex3]0\le16t+5\le100\Longleftrightarrow0\le t\le 5[/tex3]

Daí que [tex3]0\le t\le 2[/tex3]. Então temos 3 valores que satisfazem as condições do enunciado:

[tex3]t = 0\Longrightarrow x = 11 \ e \ y = 5.[/tex3]

[tex3]t = 1\Longrightarrow x =46 \ e \ y = 21[/tex3]

[tex3]t = 2\Longrightarrow x = 81 \ e \ y = 37[/tex3]

Bem, eu acho que existem apenas 3 valores de x,y menores que 100 que sejam solução da equação.

Entendi como faz. Valeu.
E achei o erro. Está aqui. Repare que [tex3]0\le35t+11\le100\Longleftrightarrow 0\le t\le 3[/tex3]. Agora dá certo. Pois [tex3]t=3[/tex3] também serve.

[Cássio]

Mas se [tex3]t = 3\Longrightarrow 35t+11 = 116>100.[/tex3] Tem certeza que [tex3]t[/tex3] pode ser 3 ?

Até!

[thebestgui]

Mas se [tex3]t = 3\Longrightarrow 35t+11 = 116>100.[/tex3] Tem certeza que [tex3]t[/tex3] pode ser 3 ?

Até!

Fiz conta errada, na minha conta tinha dado 3,5 [tex3]0\le35t+11\le100\Longleftrightarrow 0\le t\le 3[/tex3]. Mas é 2,5.

Acho que a editora digitou alguma coisa errada.

Flw novamente.