Olimpíadas ⇒ (OBM - 2007) Teoria dos Números Tópico resolvido

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Mostre que existe um número inteiro [tex3]a[/tex3] tal que [tex3]\frac{a^{29} - 1}{a - 1}[/tex3] tem pelo menos 2007 fatores primos distintos.

[theblackmamba]

Solução da banca:

[tex3]\frac{(a^2)^{29} - 1}{a - 1} = \frac{a^{29} + 1}{a + 1} \ \cdot \ \frac{a^{29} - 1}{a - 1}[/tex3]

Sabemos que: [tex3]a^{29} + 1 = (a + 1)(a^{28} - a^{27} + a^{26} - ... - a + 1)[/tex3] e [tex3]a^{29} - 1 = (a - 1)(a^{28} + a^{27} + ... + a + 1)[/tex3].
Dessa forma cada uma das frações é inteira. Além disso, se [tex3]a[/tex3] for par, por Euclides:
[tex3]\mdc(a^{29} + 1,\, a^{29} - 1) = \mdc(a^{29} + 1, \, 2) = 1[/tex3]

Assim, [tex3]mdc(\frac{a^{29} + 1}{a + 1}, \, \frac{a^{29} - 1}{a - 1}) = 1[/tex3]. Com isso, podemos concluir que, se [tex3]a[/tex3] for maior que 1, [tex3]\frac{(a^2)^{29} - 1}{a^2 - 1}[/tex3] possui pelo menor um divisor primo a mais do que [tex3]\frac{a^{29} - 1}{a - 1}[/tex3]. Portanto, o número [tex3]a = 3^{2^{2007}}[/tex3] satisfaz às condições do problema.