Olimpíadas ⇒ Encontre todas as ternas.

[Cássio]

Encontre todas as ternas [tex3](a, \ b, \ c)[/tex3], tais que [tex3]a+b+c = abc.[/tex3]

[Gaussiano]

Caro Cássio, [tex3]a,b,c[/tex3] são reais,inteiros ou naturais?

[Cássio]

Caro Cássio, [tex3]a,b,c[/tex3] são reais,inteiros ou naturais?

Inteiros positivos.

[lucas36]

A solução é bem simples.
Como a equação é simétrica em termos de [tex3]a, b, c[/tex3], isto é, se você trocar duas letras de lugar, a equação é a mesma, podemos supor, sem perda de generalidade, que [tex3]c\le b\le a[/tex3].
Logo [tex3]a+b+c\le 3a[/tex3], e logo [tex3]abc\le 3a[/tex3], ou seja, [tex3]bc\le 3[/tex3].
Dessa forma, [tex3]bc=3, 2, 1[/tex3].
Suponha qie [tex3]c\ge b[/tex3].
Se [tex3]bc=3[/tex3], então [tex3]b=1[/tex3] e [tex3]c=3[/tex3], onde [tex3]a+4=3a[/tex3], donde [tex3]a=2[/tex3] e temos a terna [tex3](2, 1, 3)[/tex3].
Se [tex3]bc=2[/tex3], então [tex3]b=1[/tex3] e [tex3]c=2[/tex3], onde [tex3]a+3=2a[/tex3], donde [tex3]a=3[/tex3] e temos a terna [tex3](3, 1, 2)[/tex3].
Se [tex3]bc=1[/tex3], então [tex3]b=c=1[/tex3] e logo [tex3]a+2=a[/tex3], que não ocorre pra nenhum [tex3]a[/tex3].

Agora, nos outros casos (em que [tex3]b, c[/tex3] é o maior) as soluções serão permutações das já encontradas.

Então as soluções são todas as permutações dos [tex3]3[/tex3] termos da terna [tex3](1, 2, 3)[/tex3]:
[tex3](1, 2, 3), (2, 1, 3), (1, 3, 2), (1, 3, 2), (3, 1, 2), (3, 2, 1)[/tex3]