Olimpíadas ⇒ Baltic Way 1992

[Cássio]

Denote por [tex3]d(n)[/tex3] a quantidade de divisores positivos de um número natural [tex3]n[/tex3] (incuindo 1 e [tex3]n.[/tex3]) Prove que existem infinitos [tex3]n,[/tex3] tais que [tex3]\dfrac{n}{d(n)}[/tex3] é um número inteiro.

[jade]

Temos que [tex3]n>d(n)[/tex3] temos que se eu pegar um primo [tex3]p[/tex3] e um número [tex3]n[/tex3] em que [tex3]p[/tex3] divide [tex3]n[/tex3] logo [tex3]n[/tex3] tem que ter [tex3]p[/tex3] divisores temos inicialmente que [tex3]n[/tex3] tem dois divisores [tex3]1[/tex3] e [tex3]n[/tex3] logo ele tem que ter [tex3]p-2[/tex3] divisores além de [tex3]1[/tex3] e [tex3]n[/tex3] para que isso ocorra [tex3]n[/tex3] tem que ser a mutiplicação de [tex3]n-2[/tex3] primos logo podemos ter infinitos números que satisfaçam essa condicão.
como por exemplo o numero [tex3]105[/tex3] que e mutiplo de [tex3]5[/tex3] è e a mutiplicacão de três primos [tex3]3,5,7[/tex3] e tem
[tex3]5[/tex3] divisores