Olimpíadas ⇒ Quadrados perfeitos.

[Cássio]

É verdade que se [tex3]n[/tex3] é um inteiro positivo, então sempre existe um quadrado perfeito com [tex3]n[/tex3] algarismos ?

Resposta

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Ou seja: existem quadrados perfeitos com qualquer quantidade (inteira) de algarismos que imaginemos ?

[Gaussiano]

Sim, é verdade.
Para chegarmos a esse resultado precisamos nos basear em alguns casos.
Veja que, se [tex3]n = 1[/tex3], teremos [tex3]1, 4[/tex3] e [tex3]9[/tex3] como quadrados perfeitos.
Perceba que, se [tex3]n[/tex3] for ímpar e maior que [tex3]1[/tex3], sempre haverá ao menos um quadrado perfeito com [tex3]n[/tex3] algarismos, pois existirão as potências de [tex3]10[/tex3] com expoente par, que são formadas pelo número [tex3]1[/tex3] seguido de uma quantidade par de zeros, resultando em um quadrado perfeito com um número ímpar de algarismos.
Já quando [tex3]n[/tex3] é par precisamos tomar um número com [tex3]2[/tex3] algarismos que seja quadrado perfeito e que gere, através da multiplicação, outros quadrados perfeitos com [tex3]4, 6, 8, ..., 2k[/tex3] algarismos.
Para garantir a veracidade de tal propriedade, vamos escolher um número do conjunto [tex3]{1, 4, 9}[/tex3], que são quadrados perfeitos de [tex3]1[/tex3] algarismo.
Escolhendo o [tex3]9[/tex3], temos que:
[tex3]9^2 = 81[/tex3]
[tex3]81^2 = 9^4 = 6561[/tex3]
[tex3]6561 * 81 = 9^6 = 531441[/tex3]
[tex3]531441 * 81 = 9^8 = 43046721[/tex3]
[tex3]...[/tex3]
[tex3]{9}^{2k} =[/tex3]número com [tex3]2k[/tex3] algarismos.
Assim, obteremos ao menos um quadrado perfeito com [tex3]n[/tex3] algarismos, onde [tex3]n[/tex3] é par.
Tal operação demonstrada com o [tex3]9[/tex3] também pode ser feita com o [tex3]4[/tex3], só que haverá algumas alterações, devido [tex3]4[/tex3] ser um número pequeno para multiplicar outro número.

De todo modo, mostramos que existe sempre um quadrado perfeito com [tex3]n[/tex3] algarismos.

Outra forma de demonstrarmos isso, é usando a ideia de que a soma de números triangulares consecutivos sempre é um quadrado perfeito: [tex3]{T}_{n - 1} + {T}_{n} = n^2[/tex3] (Um número triangular é um número natural que pode ser representado na forma de triângulo equilátero. Ex: 1, 3, 6, 10, ...)
Como os números triangulares são infinitos e podem possuir infinitos algarismos, sempre teremos um quadrado perfeito com [tex3]n[/tex3] algarismos.