IME / ITA ⇒ (IME - 1966) Geometria Espacial Tópico resolvido

[theblackmamba]

Um cone de [tex3]27\text{ cm}[/tex3] de raio e [tex3]36\text{ cm}[/tex3] de altura tem o vértice no centro de uma esfera de [tex3]35\text{ cm}[/tex3] de raio. Calcular o volume da porção de espaço comum aos dois sólidos.

Resposta

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[tex3]\frac{2.5^2 . 7^3 . \pi}{3} \, \text{cm^3}[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá theblackmamba,

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O volume desejado corresponde ao volume de um cone de altura [tex3](35-x)[/tex3] e raio [tex3](r)[/tex3] e de uma calota.

Primeiro vamos calcular o valor de [tex3]x[/tex3].

[tex3]tan\alpha=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}[/tex3]

Assim temos,

[tex3]cos\alpha=\frac{4}{5}[/tex3]

Da figura temos,

[tex3]cos\alpha=\frac{35-x}{35}[/tex3]
[tex3]\frac{4}{5}=\frac{35-x}{35}[/tex3]
[tex3]\boxed{x=7\,cm}[/tex3]

Assim a altura do nosso cone vale [tex3]\boxed{h=35-x=28\,cm}[/tex3]

Por Pitágoras,

[tex3]r^2=35^2-28^2[/tex3]
[tex3]\boxed{r=21\,cm}[/tex3]

Sabemos que,

[tex3]V_{cone}=\frac{1}{3}A_b.h[/tex3]
[tex3]V_{calota}=\frac{\pi h}{6}(3r^2+h^2)[/tex3]

Logo,

[tex3]V_t=V_{cone}+V_{calota}[/tex3]
[tex3]V_t=\frac{1}{3}\pi 21^2.7+\frac{\pi .h}{6}(3.21^2+7^2)[/tex3]
[tex3]V_t=\pi .7^3(9+\frac{27}{6}+\frac{1}{6})[/tex3]

Portanto,

[tex3]\boxed{\boxed{V_t=\frac{2.5^2.7^3\pi }{3}\,cm^3}}[/tex3]

Abraço.