IME / ITA ⇒ IME (1988) - Geometria Plana Tópico resolvido

[theblackmamba]

Numa circunferência de centro O e diâmetro AB = 2R, prolonga-se o diâmetro AB até um ponto M, tal que BM = R. Traça-se uma secante MNS tal que MN = NS, onde N e S são os pontos de intersecção da secante com a circunferência. Determine a área do triângulo MOS.

Resposta

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[tex3]A = \frac{1}{4}. R^2\sqrt{15}[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá theblackmamba,

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Usando potência de ponto temos que,
[tex3]MN.MS=MB.MA[/tex3]
[tex3]a.2a=R.3R[/tex3]
[tex3]a=\frac{R}{2}\sqrt{6}[/tex3]

Assim temos que,
[tex3]MS=R\sqrt{6}[/tex3]
[tex3]SO=R[/tex3]
[tex3]OM=2R[/tex3]

Usando Heron,
[tex3]A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex3]

Onde p vale,
[tex3]p=\frac{3R+2R\sqrt{6}}{2}=\frac{R}{2}(3+\sqrt{6})[/tex3]
[tex3]p-a=\frac{R}{2}(3+\sqrt{6})-R\sqrt{6}=\frac{R}{2}(3-\sqrt{6})[/tex3]
[tex3]p-b=\frac{R}{2}(3+\sqrt{6})-R=\frac{R}{2}(1+\sqrt{6})[/tex3]
[tex3]p-c=\frac{R}{2}(3+\sqrt{6})-2R=\frac{R}{2}(\sqrt{6}-1)[/tex3]

Assim temos,
[tex3]A=\frac{R^2}{4}\sqrt{(3+\sqrt{6})(3-\sqrt{6})(1+\sqrt{6})(\sqrt{6}-1)}[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{A=\frac{\sqrt{15}R^2}{4}\,u.a}[/tex3]

Abraço.

[theblackmamba]

Realmente desconhecia a potência de ponto, nunca iria resolver, foi muito útil. Valeu, um abraço!