Pré-Vestibular ⇒ (UFMG - 2007) Probabilidade

[LucasMattos]

Vinte alunos de uma escola, entre os quais, Gabriel, Mateus e Roger, formam uma fila aleatoriamente.

a) Determine a probabilidade de essa fila ser formada de tal modo que Gabriel, Mateus e Roger apareçam juntos, em qualquer ordem.

b) Determine a probabilidade de essa fila ser formada de tal modo que, entre Gabriel e Mateus, haja, exatamente, cinco outros alunos.

[edu_landim]

a) Descosiderando-se os três que devem ficar juntos teríamos [tex3]17![/tex3] filas diferentes a formar.

Devemos em cada fila reservar três espaços consecutivos, assim em cada fila haveria [tex3]18[/tex3] locais onde deixar esses epaços. Desta forma cada fila originaria [tex3]18[/tex3] outras filas, ou seja, [tex3]18 \cdot 17! = 18!.[/tex3]

Para ocupar esses três espaços poderíamos colocar as três pessoas de [tex3]3![/tex3] formas diferentes, assim cada fila gerada até então originaria [tex3]6[/tex3] novas filas.

No total teremos [tex3]3! \cdot 18! = 6 \cdot 18![/tex3]

b) Desconsideremos Gabriel e Matheus, teremos que formar uma fila com [tex3]13[/tex3] pessoas tendo a disposição [tex3]18[/tex3] pessoas, teremos [tex3]A_{18,13}[/tex3] filas.

Para cada fila formada devemos deixar [tex3]7[/tex3] espaços consecutivos, havendo [tex3]14[/tex3] locais possíveis, assim cada fila geraria outras [tex3]14.[/tex3]

Finalmente para ocupar uma fila podemos permutar os cinco intermédiários e os dois extremos, cada fila gerará [tex3]2 \cdot 5![/tex3] filas novas.

No total teremos [tex3]2 \cdot 5! \cdot 14 \cdot A_{18,13}= 3360 \cdot A_{18,13}.[/tex3]

[triplebig]

Olá edu_landim

Ele quer saber a probabilidade, não o número de filas possíveis.

[edu_landim]

Correto, para termos a probabilidade em cada caso basta dividirmos os valores encontrados por [tex3]20![/tex3] que é o número total de filas que se pode formar.

Grato pelo alerta.