IME / ITA ⇒ (IME - 1986) Geometria Plana Tópico resolvido

[theblackmamba]

Dado um triângulo ABC de lados a, b e c opostos aos ângulos [tex3]\angle A[/tex3] , [tex3]\angle B[/tex3] e [tex3]\angle C[/tex3] respectivamente e de perímetro [tex3]2p[/tex3], mostre que:

[tex3]a = \frac{p\,\cdot\,sen\frac{\angle A}{2}}{cos\,\frac{\angle B}{2}\,\cdot \,cos\,\frac{\angle C}{2}}[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá theblackmamba,

Seja um [tex3]\Delta ABC[/tex3] temos as seguintes relações,
[tex3]sen(\frac{A}{2})=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}[/tex3]
[tex3]cos(\frac{A}{2})=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}[/tex3]

Assim temos que,
[tex3]\frac{p.sen(\frac{A}{2})}{cos(\frac{B}{2})cos (\frac{C}{2})}=\frac{p.\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}}{\sqrt{\frac{p(p-b)}{ac}}\cdot \sqrt{\frac{p(p-c)}{ab}}}[/tex3]
[tex3]=\frac{p\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}}{\frac{p}{a}\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}}=a[/tex3]. CQD

Abraço.