Olimpíadas ⇒ (OBM - 2004) Conjuntos Numéricos Tópico resolvido

[edu_landim]

Sendo

• [tex3]a\,=\,\frac{1^2}{1}\,+\,\frac{2^2}{3}\,+\,\frac{3^2}{5}\,+\,\ldots\,+\,\frac{1001^2}{2001}[/tex3]

e

• [tex3]b\,=\,\frac{1^2}{3}\,+\,\frac{2^2}{5}\,+\,\frac{3^2}{7}\,+\,\ldots\,+\,\frac{1001^2}{2003}[/tex3]

O inteiro mais próximo de [tex3]a-b[/tex3] é:

[tex3]\text{ a) 500 b) 501 c) 999 d) 1000 e) 1001}[/tex3]

[triplebig]

Olá edu_landim

[tex3]a-b[/tex3] pode ser escrito como:

• [tex3]\frac{1^2}{1}+\left(\frac{2^2}{3}-\frac{1^2}{3}\right)+\left(\frac{3^2}{5}-\frac{2^2}{5}\right)+\ldots +\left(\frac{1001^2}{2001}-\frac{1000^2}{2001}\right)-\frac{1001^2}{2003}[/tex3]

Os números entre parenteses são iguais a um, então

• [tex3]\begin{array}{rl}
  a-b&=\underbrace{ 1+1+1+1+\ldots +1}_{1001}-\frac{1001^2}{2003} \\
  &=1001-\frac{1001^2}{2003} \\
  &=\frac{1001\cdot 1002}{2003}
  \end{array}[/tex3]

• [tex3]\frac{1001\cdot 1002}{2004}<\frac{1001\cdot 1002}{2003}<\frac{1001\cdot 1002}{2002}[/tex3]
  
  [tex3]500,5<\frac{1001\cdot 1002}{2003}<501[/tex3]

Letra (b).