Ensino Médio ⇒ Área hachurada 2 Tópico resolvido

[fernandobr]

Outra questão:

Na figura abaixo, [tex3]\overline{PA}[/tex3] e [tex3]\overline{PB}[/tex3] são tangentes ao círculo de centro [tex3]O[/tex3] e raio [tex3]R[/tex3]. Se [tex3]A\hat{P}B = \theta[/tex3], ache a área assinalada em função de [tex3]R[/tex3] e [tex3]\theta[/tex3].

area2.png (14.9 KiB) Exibido 526 vezes

[diogopfp]

Olá,

Primeiro note que o triângulo [tex3]APB[/tex3] é isósceles, pois [tex3]\overline{AP}=\overline{BP}[/tex3]. Assim sua área é dada por
[tex3]A=\frac{a^2\sin{\theta}}{2}[/tex3]
onde [tex3]a=\overline{AP}=\overline{BP}[/tex3].

Agora traçando um segmento de [tex3]OP[/tex3] temos dois triângulos retângulos: [tex3]OPA[/tex3] e [tex3]OPB[/tex3] com [tex3]O\hat{P}A=O\hat{P}B=\frac{\theta}{2}[/tex3].
Então usando a função tangente,
[tex3]a=\frac{R}{\tan(\theta/2)}[/tex3].

substituindo em [tex3]A=\frac{a^2\sin{\theta}}{2}[/tex3],
[tex3]\boxed{A=\frac{R^2\sin{\theta}}{2[\tan(\theta/2)]^2}}[/tex3].

[theblackmamba]

Olá a todos, uma outra forma de chegar a mesma resposta que o diogopfp só que de uma forma diferente um pouco mais trabalhosa.
- Temos que [tex3]\overline{AO} = \overline{BO} = R[/tex3] e [tex3]\overline{PA} = \overline{PB} = x[/tex3] pois as retas são tangentes e partem do mesmo ponto.
- Se [tex3]\angle P = \theta[/tex3] então [tex3]\angle O = 180^{\circ} - \theta[/tex3]

Podemos aplicar o teorema dos cossenos no [tex3]\Delta AOB[/tex3] e no [tex3]\Delta APB[/tex3]
[tex3]AB^2 = R^2 + R^2 - 2\cdot R \cdot R \cdot cos(180^{\circ} - \theta)[/tex3]

[tex3]\boxed{AB^2 = 2R^2(1 + cos \theta)}[/tex3]

Mas também temos:
[tex3]AB^2 = x^2 + x^2 - 2\cdot x \cdot x \cdot cos \theta[/tex3]
[tex3]\boxed{AB^2 = 2x^2(1 - cos \theta)}[/tex3]

Podemos igualar as equações:
[tex3]2R^2(1 + cos \theta) = 2x^2(1 - cos \theta)[/tex3]
[tex3]x^2 = R^2 \(\frac{1 + cos \theta}{1 - cos \theta}\)[/tex3]

Podemos simplificar a equação lembrando da equações de Prostaferese:
[tex3]-\(\frac{cos \theta + 1}{cos \theta - 1}\) = -\(\frac{cos \theta + cos90^{\circ}}{cos \theta - cos90^{\circ}}\) = -\frac{2\cdot cos\,\(\frac{\theta}{2}\) \cdot cos\,\(\frac{\theta}{2}\)}{-2\cdot sen\(\frac{\theta}{2}\) \cdot sen\(\frac{\theta}{2}\)} = cotg^2 \(\frac{\theta}{2}\)[/tex3]

Logo,
[tex3]\boxed{x^2 = R^2 \cdot cotg^2 \(\frac{\theta}{2}\)}[/tex3]

A área do hachurada ([tex3]A_{APB}[/tex3]) é dada por: [tex3]\frac{1}{2}\cdot x^2 \cdot sen \theta[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{A_{APB} = \frac{1}{2}\cdot R^2 \cdot cotg^2 \(\frac{\theta}{2}\) \cdot sen \theta}}[/tex3]

Abraços.