Olimpíadas ⇒ (OBM - 1997) Conjuntos Numéricos Tópico resolvido

[alinebotelho]

Se [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] são inteiros positivos, tais que [tex3]\frac{7}{10}[/tex3]<[tex3]\frac{p}{q}[/tex3]<[tex3]\frac{11}{15}[/tex3], o menor valor que [tex3]q[/tex3] pode ter é:

a) 6
b) 7
c) 25
d) 30
e) 60

[Auto Excluído (ID:276)]

Aplicando o [tex3]\text{mmc}[/tex3] facilita bastante. Mas do modo que fiz, se não estiver errado e de acordo com o enunciado, [tex3]p[/tex3] ou [tex3]q[/tex3] são negativos. Não tem nada errado?

[theblackmamba]

Encontrei uma solução deste problema no próprio site, no espaço "Estude Online" - Matemática (exercícios de Olímpiadas): é a questão número 2.

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_ma ... umeros.php

[cajuADMIN]

Olá a todos,

Vou repassar a resposta que o theblackmamba postou o link acima:

Isolando "p" teremos:

[tex3]\frac{7q}{10} < p < \frac{11q}{15}[/tex3]

vamos arbitrar, para "q", valores múltiplos de 30 (mmc entre 10 e 15).

Colocando [tex3]q=30[/tex3] teremos [tex3]21 < p < 22[/tex3] que não nos serve, pois "q" não seria inteiro.

Arbitrando [tex3]q=60[/tex3] teremos [tex3]42 < p < 44[/tex3] que nos dá o menor intervalo possível para "q" (apenas uma solução, [tex3]q=43[/tex3]). Portanto, o menor valor de "q" é 60.

Resposta letra "E".

Grande abraço,
Prof. Caju

[Gaussiano]

Na verdade, a resposta certa é a letra B.
Veja que o [tex3]mmc(10, 15) = 30[/tex3]. Então podemos escrever:
[tex3]\frac{21}{30} < \frac{p}{q} < \frac{22}{30}[/tex3]
Perceba que se [tex3]q[/tex3] possuir um divisor de 30 em sua fatoração, isso implicaria que ou [tex3]p[/tex3] não seria inteiro (caso [tex3]q = 6[/tex3] e [tex3]q = 30[/tex3]), ou [tex3]q[/tex3] seria um inteiro muito grande (caso [tex3]q = 25[/tex3] e [tex3]q = 60[/tex3]).
Assim, a resposta é [tex3]7[/tex3], pois
[tex3]\frac{21}{30} < \frac{p}{7} < \frac{22}{30}[/tex3], onde o [tex3]mmc(7, 30) = 210 \Rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{147}{210} < \frac{30p}{210} < \frac{154}{210}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3]
[tex3]147 < 30p < 154[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]4,9 < p < 5,13[/tex3](como [tex3]p[/tex3] é inteiro, [tex3]p = 5[/tex3])
[tex3]q = 7[/tex3] é o menor valor possível.

[cajuADMIN]

Olá Gaussiano,

Muito boa sua resposta.

A resolução anterior errou ao isolar p na inequação e tentar garantir que as frações resultassem um número inteiro.

Grande abraço,
Prof. Caju