IME / ITA ⇒ (IME - 1965) Cone inscrito na esfera Tópico resolvido

[theblackmamba]

Um cone equilátero está inscrito em uma esfera de raio [tex3]R = 6[/tex3]. Deseja-se cortar os dois sólidos por um plano paralelo à base do cone, de tal forma que as diferenças entre as áreas das secções obtidas seja igual a [tex3]2 \pi[/tex3] . Qual a menor distância do vértice do cone a que deve passar este plano ?

Resposta

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[tex3]\frac{9 - 5\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[diogopfp]

Calculando separadamente a seção obtida no cone e na esfera:
1. Cone
A seção obtida será uma circunferência cujo raio é a metade do lado do triângulo equilátero de altura [tex3]x[/tex3] (distância entre o vértice e o plano) como mostra a figura. (Obs.: o cone menor obtido também é equilátero).

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Em um triângulo equilátero é conhecida a relação da altura com o lado: [tex3]x=\frac{l\sqrt{3}}{2}[/tex3].
Logo o raio circunferência obtida será [tex3]r_1=\frac{l}{2}=\frac{x}{\sqrt{3}}[/tex3]
Portanto a área da circunferência obtida pela secção do cone é
[tex3]\boxed{A_1=\frac{x^2\pi}{3}}[/tex3]


2. Esfera
O raio da seção é dado pela relação [tex3]r_2^2=R^2-(R-x)^2=2Rx-x^2[/tex3] como mostra a figura abaixo

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Como [tex3]R=6[/tex3] segue que a área da seção é
[tex3]\boxed{A_2=(12x-x^2)\pi}[/tex3]


Diferença entre as áreas
De acordo com o enunciado [tex3]A_2-A_1=2\pi[/tex3], então
[tex3]12x-x^2-\frac{x^2}{3}=2[/tex3]
[tex3]12x-\frac{4x^2}{3}=2[/tex3]
[tex3]6x-\frac{2x^2}{3}=1[/tex3]
[tex3]18x-2x^2=3[/tex3]
[tex3]-2x^2+18x-3=0[/tex3]
As raízes obtidas são [tex3]\frac{9\pm5\sqrt{3}}{2}[/tex3], portanto a resposta é
[tex3]\boxed{\boxed{\frac{9-5\sqrt{3}}{2}}}[/tex3]