Olimpíadas ⇒ (Aústria - 2002) Frações irredutíveis Tópico resolvido

[theblackmamba]

Determine o menor inteiro positivo x para o qual todas as frações:

[tex3]\frac{3x + 9}{8} ,\,\frac{3x + 10}{9} ,\,\frac{3x + 11}{10}, \, ... ,\, \frac{3x + 49}{48}[/tex3] são irredutíveis.

[lucas36]

As fracões são da forma [tex3]\dfrac{3x+a+1}{a}[/tex3].
Para estas serem irredutíveis, devemos ter [tex3]\text{mdc}(3x+a+1, a)=1[/tex3], mas [tex3]\text{mdc}(3x+a+1, a)=\text{mdc}(3x+1, a)=1[/tex3], isto é, nenhum primo que divida [tex3]a[/tex3] pode dividir [tex3]3x+1[/tex3].
Os primos que dividem [tex3]a[/tex3] são os primos entre [tex3]2[/tex3] e [tex3]48[/tex3], inclusive.
Logo, claramente [tex3]3x+1>48[/tex3].
Basta pegarmos o menor número primo da forma [tex3]3x+1[/tex3] maior que [tex3]48[/tex3] (pegamos o próprio primo pois qualquer múltiplo deste é maior que ele, mas estamos querendo minimizar).
De fato, [tex3]61[/tex3] é primo e satisfaz tal propriedade.

Logo [tex3]3x+1=61\Rightarrow x=20[/tex3].