Olimpíadas ⇒ (ORRGS - 2004) Geometria Plana: Pentágono Inscrito

[mawapa]

(ORRGS - 2004) Seja [tex3]PQRST[/tex3] um pentágono inscrito em uma circunferência de centro [tex3]O,[/tex3] onde [tex3]PQ = 70^\circ.[/tex3] Sendo [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] as medidas dos ângulos [tex3]P\hat{T}S[/tex3] e [tex3]S\hat{R}Q,[/tex3] quanto vale [tex3]x + y[/tex3] ?

[bigjohn]

ae mawapa, acho que vc esqueceu alguma letra na parte que diz [tex3]PQ=70^{\circ}[/tex3].
flw

[mawapa]

Sim estava errado mesmo, achei a cópia original da prova, o ângulo é [tex3]POQ[/tex3] .

flw

[bigjohn]

Ae, dá uma olhada na figurinha:

2_circuloo_1.jpg (10.76 KiB) Exibido 200 vezes

Tem a propriedade de angulos no circulo que dá pra dizer que o angulo QOS vale 2Y e o angulo POS vale 2X, os angulos tão marcado na figura.

Daí dá pra gente ver que

[tex3]2X-70+2Y=360[/tex3]

[tex3]X+Y=215^{\circ}[/tex3]

flw

[mawapa]

Ae BigJohn, vlw pela resolução, eu não conhecia essa propriedade.

flw!

[bigjohn]

Falae muleke, vou aproveitar então e colocar aqui a demo dessa propriedade (cajuzão me passou o desafio de fazer isso, e pior, não pode ter erro de português).

A95.png (17.27 KiB) Exibido 6940 vezes

Vou provar que o ângulo [tex3]A\hat{O}B[/tex3] é o dobro de [tex3]A\hat{C}B.[/tex3]

[tex3]OC=OA=[/tex3] raio o triângulo [tex3]AOC[/tex3] é isósceles que dá que os ângulos [tex3]O\hat{C}A[/tex3] e [tex3]O\hat{A}C[/tex3] são iguais, digamos [tex3]O\hat{C}A=O\hat{A}C=X.[/tex3]
Idem para os ângulos [tex3]O\hat{C}B[/tex3] e [tex3]O\hat{B}C,[/tex3] podemos dizer, [tex3]O\hat{C}B=O\hat{B}C=Y.[/tex3]

Já que a soma dos ângulos dos triângulos é [tex3]180^\circ[/tex3] dá pra dizer no triângulo [tex3]AOC:[/tex3]

[tex3]O\hat{C}A+C\hat{O}A+O\hat{A}C=180^\circ,[/tex3] mas [tex3]O\hat{C}A=O\hat{A}C=X,[/tex3] então:

[tex3]X+C\hat{O}A+X=180^{\circ}\rightarrow C\hat{O}A=180^{\circ}-2X[/tex3]

A mesma coisa pode-se fazer com o triângulo [tex3]COB[/tex3]

[tex3]Y+C\hat{O}B+Y=180^{\circ}\rightarrow C\hat{O}B=180^{\circ}-2Y[/tex3]

Agora dá pra ver que

[tex3]A\hat{O}B=360^{\circ}-C\hat{O}A-C\hat{O}B[/tex3]

[tex3]A\hat{O}B=360^{\circ}-(180^{\circ}-2X)-(180^{\circ}-2Y)[/tex3]

[tex3]A\hat{O}B=2\cdot(X+Y)[/tex3]

Só que dá pra ver que [tex3]A\hat{C}B=X+Y,[/tex3] então

[tex3]A\hat{O}B=2\cdot A\hat{C}B[/tex3]

e era isso...

vlw brother

[mawapa]

Ae BigJohn! Vlw, ja dei uma olhada aí, tá muito bem explicado, vou tentar demonstrar aki sozinho pra ver. Ah, se puxando em português hein? hauehua. Não esqueceu nenhum acento. Caju tá marcando em cima neh?. rsrsrs... brincadeira!!

Flw Brother!
t+