IME / ITA ⇒ IME (1966) - Geometria Espacial Tópico resolvido

[theblackmamba]

Pela diagonal de uma das faces de um cubo de aresta igual a [tex3]6\text{m}[/tex3] faz-se passar um plano que forma com esta face um diedro de [tex3]\text{arctg}\,sqrt{2}[/tex3]. Calcular os volumes dos sólidos em que fica decomposto o cubo.

Resposta

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[tex3]36\,\text{m^3}\,\,\text{e}\,\,180 \, \text{m^3}[/tex3]

[diogopfp]

A figura mostra a construção descrita no enunciado (com apenas a metade do cubo):

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sendo [tex3]AC[/tex3] e [tex3]BC[/tex3] arestas do cubo e [tex3]AB[/tex3] a diagonal por onde passa o plano.
Notes que os pontos [tex3]ABCD[/tex3] formam uma pirâmide cuja base é um triângulo retângulo isósceles de área [tex3]A_b=\frac{6^2}{2}[/tex3]. Como o volume da pirâmide é dado por [tex3]V=\frac{A_b\cdot h}{3}[/tex3], precisamos encontrar o valor de [tex3]h[/tex3]. Para isso considere o triangulo [tex3]CDE[/tex3] mostrado na figura abaixo

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Sendo [tex3]CE=\frac{diag}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}[/tex3] (metade da diagonal da face) e sendo [tex3]C\hat{E}D[/tex3] o angulo descrito no enunciado, ou seja, sua tangente vale [tex3]\sqrt{2}[/tex3] , então
[tex3]\sqrt{2}=\frac{h}{3\sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]h=6[/tex3]
Portanto o volume da pirâmide [tex3]ABCD[/tex3] vale
[tex3]
\boxed{
V=\frac{\frac{6^2}{2}\cdot 6}{3}
=6^2
=36\,\text{m}^3
}
[/tex3]
O volume do outro sólido é dado pelo volume do cubo menos o volume da pirâmide: [tex3]\boxed{6^3-36=180\mbox{ m}^3}[/tex3]