IME / ITA ⇒ (IME - 1967) Geometria Plana Tópico resolvido

[theblackmamba]

A figura mostra um octógono regular [tex3]MNPQRSTU[/tex3], e um quadrado construído tendo por base o lado [tex3]MN[/tex3].
Sabendo que a distância entre o centro do círculo inscrito no octógono e o ponto de intersecção das diagonais do quadrado é [tex3]\text{a}[/tex3], determinar a área do quadrado em função de [tex3]\text{a}[/tex3].

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Resposta

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[tex3]\text{2a^2 (3 - 2\sqrt{2})}[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá theblackmamba,

Veja que,
[tex3]a=a_{p8}+a_{p4}[/tex3]

Onde
[tex3]a_{p}[/tex3] é a apótema

Sabemos que a apótema é dado por:
[tex3]a_{p}=\frac{L}{2tan\(\frac{\pi}{n}\)}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]a_{p8}=\frac{L}{2tan\(\frac{\pi}{8}\)}=\frac{L}{2tan 22.5}=\frac{L}{2(\sqrt{2}-1)}[/tex3]

Observação
[tex3]tanx=\frac{sen x}{cosx}.\frac{2cosx}{2cosx}=\frac{sen(2x)}{2cos^2x}=\frac{sen(2x)}{cos(2x)+1}[/tex3]

Logo,
[tex3]tan 22.5=\frac{sen45}{cos 45 +1}=\sqrt{2}-1[/tex3]

Também temos que,
[tex3]a_{p4}=\frac{L}{2tan 45}=\frac{L}{2}[/tex3]

Desta forma temos,
[tex3]a=\frac{L}{2(\sqrt{2}-1)}+\frac{L}{2}=[/tex3]
[tex3]L=a(2-\sqrt{2})[/tex3]

A área do quadrado vale,
[tex3]A=L^2=[a(2-\sqrt{2})]^2[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{A=2a^2(3-2\sqrt{2})u.a}[/tex3]

Abraço.

[diogopfp]

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Sabemos que o ângulo central do octógono vale 360/8=45, assim o ângulo [tex3]\alpha=\frac{45}{2}[/tex3] (pois [tex3]MON[/tex3] é isósceles). Além disso é fácil notar que [tex3]OF=a-\frac{l}{2}[/tex3] e [tex3]MF=\frac{l}{2}[/tex3], portanto
[tex3]\tan(\alpha)=\frac{MF}{OF}[/tex3]
[tex3]\tan(\frac{45}{2})=\frac{\frac{l}{2}}{a-\frac{l}{2}}[/tex3]
[tex3]\tan(\frac{45}{2})=\frac{1}{\frac{2a}{l}-1}[/tex3]
Como [tex3]\tan(\frac{45}{2})=-1+\sqrt{2}[/tex3],
[tex3]-1+\sqrt{2}=\frac{1}{\frac{2a}{l}-1}[/tex3]
simplificando
[tex3]l=a(2-\sqrt{2})[/tex3]

[tex3]\boxed{l^2=2a^2(3-2\sqrt{2})}[/tex3]

[Swiichi]

Desculpe se as resoluções do moderador FelipeCaceres e do membro diogofp foram suficientes, é que eu creio que minha resolução esteja um tanto mais simples na parte de cálculos.

Observe a imagem, em que [tex3]l[/tex3] corresponde à medida do lado do octógono(e, por consequência, do quadrado):

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Para o cálculo de [tex3]x[/tex3], é necessário que se visualize o triângulo retângulo que é formado ao “arrastar” [tex3]\bar{UM}[/tex3] até o ponto B, formando o triângulo [tex3]UBC[/tex3], retângulo em C.

É necessário ainda que se saiba que o ângulo [tex3]U\hat{B}C[/tex3] mede [tex3]45^o[/tex3] (Tal demonstração encontra-se em spoiler no final da resposta). Logo, pelas relações trigonométricas do triângulo retângulo, tem-se:

[tex3]\cos45^o = \Large \frac{x}{l}\\
\boxed{x = \frac{l\sqrt{2}}{2}}[/tex3]

Dessa forma, calcula-se:
[tex3]\frac{l}{2} + \frac{l}{2} + \frac{l\sqrt{2}}{2} = a\\
2l + \sqrt{2}l = 2a\\
l = \frac{2a}{2+\sqrt{2}}[/tex3]
Racionalizando, tem-se [tex3]l=a(2-\sqrt{2})[/tex3]

Como a área é dada por [tex3]l^2[/tex3], tem-se:
[tex3]A=l^2\\
A=\left[a(2-\sqrt{2})\right]^2\\
A=a^2(4-4\sqrt{2}+2)\\
\boxed{\boxed{A=2a^2(3-2\sqrt{2})}}[/tex3]

Abraço, espero ter ajudado.

Resposta

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Para confirmarmos que o ângulo [tex3]U\hat{B}C[/tex3] tem, de fato, [tex3]45^o[/tex3], basta que localizemos na imagem o trapézio [tex3]STUM[/tex3]. Os ângulos em T e em U são de 135º (cada ângulo interno do octaedro regular mede 135º). Se denominarmos [tex3]x[/tex3] o ângulo restante, teremos:
[tex3]2x+2.(135^o) = 360^o\\
x = 180^o-135^o\\
\boxed{\boxed{x=45^o}}[/tex3]