Ensino Médio ⇒ Área Hachurada Tópico resolvido

[fernandobr]

Na figura, [tex3]AM = MB[/tex3] , [tex3]CN = \frac{CA}{3}[/tex3] e [tex3]BP = \frac{BC}{4}[/tex3]. Se o triângulo [tex3]ABC[/tex3] tem área [tex3]S[/tex3], ache a área hachurada em função de [tex3]S[/tex3].

figura.png (14.5 KiB) Exibido 1196 vezes

[Marcos]

Olá, fernandobr.Observe as etapas da solução.

Área.gif (4.24 KiB) Exibido 1111 vezes

[tex3]1^o) Etapa:[/tex3]

1ª) Etapa.gif (4.34 KiB) Exibido 1111 vezes

Unindo os pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]F[/tex3]
Sendo [tex3]X[/tex3] a área do [tex3]\bigtriangleup FNC[/tex3], a área do [tex3]\bigtriangleup FNA[/tex3] será [tex3]2X[/tex3].
Sendo [tex3]Y[/tex3] a área do [tex3]\bigtriangleup FAM[/tex3], a área do [tex3]\bigtriangleup FBM[/tex3] será [tex3]Y[/tex3].
Temos:

[tex3]\left . \begin{aligned}
& 3X+Y= \frac{S}{2} \\
& 2X+2Y= \frac{2S}{3}\\
\end{aligned}
\right \} \Longrightarrow \left ( X=\frac{S}{12};Y=\frac{S}{4} \right )[/tex3]

[tex3]2^o) Etapa:[/tex3]

2ª) Etapa.gif (4.34 KiB) Exibido 1111 vezes

Unindo os pontos [tex3]B[/tex3] e [tex3]D[/tex3]
Sendo [tex3]T[/tex3] a área do [tex3]\bigtriangleup BMD[/tex3], a área do [tex3]\bigtriangleup AMD[/tex3] será [tex3]T[/tex3].
Sendo [tex3]U[/tex3] a área do [tex3]\bigtriangleup BDP[/tex3], a área do [tex3]\bigtriangleup PDC[/tex3] será [tex3]3U[/tex3].
Temos:

[tex3]\left . \begin{aligned}
& 2T+U= \frac{S}{4} \\
& T+4U= \frac{S}{2}\\
\end{aligned}
\right \} \Longrightarrow \left ( T=\frac{S}{14};U=\frac{3S}{28} \right )[/tex3]

[tex3]3^o) Etapa:[/tex3]

3ª) Etapa.gif (4.35 KiB) Exibido 1111 vezes

Unindo os pontos [tex3]C[/tex3] e [tex3]E[/tex3]
Sendo [tex3]V[/tex3] a área do [tex3]\bigtriangleup BEP[/tex3], a área do [tex3]\bigtriangleup PEC[/tex3] será [tex3]3V[/tex3].
Sendo [tex3]Z[/tex3] a área do [tex3]\bigtriangleup CNE[/tex3], a área do [tex3]\bigtriangleup ANE[/tex3] será [tex3]2Z[/tex3].
Temos:

[tex3]\left . \begin{aligned}
& 4V+Z= \frac{S}{3} \\
& 3V+3Z= \frac{3S}{4}\\
\end{aligned}
\right \} \Longrightarrow \left ( V=\frac{S}{36};U=\frac{2S}{9} \right )[/tex3]

4ª) Etapa.gif (5.72 KiB) Exibido 1111 vezes

Área hachurada [tex3]\left ( S_{\bigtriangleup{DEF}} \right ) \longrightarrow S_{\bigtriangleup{BFM}}=S_{\bigtriangleup{BMD}}+S_{\bigtriangleup{BED}}+S_{\bigtriangleup{DEF}}[/tex3]

[tex3]Y=T+(U-V)+S_{\bigtriangleup{DEF}}[/tex3]

[tex3]S_{\bigtriangleup{DEF}}=Y-T-U+V[/tex3]

[tex3]S_{\bigtriangleup{DEF}}= \frac{S}{4}-\frac{S}{14}-\frac{3S}{28}+\frac{S}{36}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{S_{\bigtriangleup{DEF}}= \frac{25S}{252}}}[/tex3]

Resposta: [tex3]\frac{25S}{252}[/tex3]